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第一章 函数 1

§1 集合与集合的映射 1

一 集合 1

二 集合的映射 2

§2 实数集 4

一 实数与数轴 4

二 区间与邻域 5

§3 函数概念 7

一 变量与常量 7

二 函数的定义 8

三 函数的几何意义 11

四 函数的几种性质 15

§4 复合函数与反函数 18

一 复合函数 18

二 反函数 20

§5 初等函数 24

一 基本初等函数 24

二 初等函数 30

三 双曲函数 31

一 面积问题 34

§1 数列的极限 34

第二章 极限 34

二 数列的极限概念 37

§2 函数的极限 46

一 自变量趋向有限值时函数的极限 46

二 自变量趋向无穷时函数的极限 53

三 无穷小量与无穷大量 55

四 海涅(Heine)定理 59

§3 函数极限的性质与运算 62

一 极限与函数值的关系 62

二 函数极限与无穷小的关系 63

三 无穷小的性质 64

四 极限的四则运算定理 66

§4 极限存在的准则及两个重要极限 72

一 夹挤准则 72

二 单调有界准则 76

§5 无穷小量的比较 81

§6 连续函数 84

一 函数的连续性 84

二 函数的间断点 87

三 初等函数的连续性 90

四 连续函数在闭区间上的性质 94

五 一致连续概念 98

第三章 导数与微分 101

§1 导数概念 101

一 导数问题的引例 101

二 导数的定义 104

三 导数的几何意义 108

四 函数的可导性与连续性的关系 112

五 常数和几个基本初等函数的导数 115

§2 函数的微分法 119

一 函数的和、差、积、商的求导法则 119

二 反函数的导数 124

三 复合函数的微分法 128

四 高阶导数 135

五 相关变化率 139

§3 函数微分的概念 141

一 微分的概念 141

二 微分的几何意义 145

三 微分公式 146

§4 微分在近似计算上的应用 149

一 函数的近似公式 149

二 函数值的误差估计 152

一 隐函数的导数 156

§5 隐函数及参量函数的导数 156

二 参量函数的导数 161

三 极坐标系下曲线切线的斜率 165

第四章 导数的应用 168

§1 微分学中值定理 168

一 罗尔定理 168

二 拉格朗日定理 170

三 柯西定理 174

§2 罗比塔(L′Hospita)法则 177

一 0/0型未定式 177

二 ∞/∞型未定式 181

三 其它类型的未定式 184

§3 函数的增减性与极值 186

一 函数增减的必要条件与充分条件 186

二 函数的极值及其求法 191

§4 函数的最大值、最小值 198

§5 曲线的凹凸性与拐点 203

§6 在直角坐标系下函数图形的描绘 209

一 曲线的渐近线 210

二 函数图形的描绘 212

§7 台劳(Taylor)公式 215

一 弧微分 224

§8 曲率 224

二 曲率 227

三 曲率圆 233

四 渐屈线与渐伸线 236

§9 方程的近似根 238

第五章 不定积分 244

§1 不定积分的概念 244

一 原函数 244

二 不定积分的几何意义 246

三 不定积分的性质 248

四 基本积分表 249

§2 基本积分法 252

一 换元积分法 253

二 分部积分法 267

§3 几类函数的积分法 273

一 有理函数的积分 273

二 三角函数有理式的积分 284

三 两种无理函数的积分 288

§4 积分表的使用 294

§1 定积分的概念 298

一 定积分问题的两个引例 298

第六章 定积分 298

二 定积分的定义 302

三 定积分的几何意义 305

§2 定积分的性质 308

一 定积分的性质 308

二 定积分的中值定 312

§3 定积分与原函数的关系 315

一 变上限的定积分 315

二 牛顿—莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式 317

一 定积分的换元公式 321

§4 定积分的计算方法 321

二 定积分的分部积分公式 328

§5 定积分的近似计算法 331

一 矩形法 331

二 梯形法 333

三 抛物线法 334

§6 广义积分初步与Γ函数 341

一 积分区间为无穷的广义积分 341

二 无界函数的广义积分 345

三 Γ函数 348

§7 定积分在几何上的应用 350

一 平面图形的面积S 351

二 立体的体积V 358

三 平面曲线的弧长S 364

四 旋转体的侧面积 368

§8 定积分在物理上的应用 370

一 变力所作的功 370

二 引力问题 373

三 液体的侧压力 375

四 函数的平均值 376

一 空间点的直角坐标 380

§1 空间直角坐标系 380

第七章 空间解析几何与矢量代数 380

二 空间两点间的距离 384

§2 矢量代数 386

一 矢量概念 386

二 矢量的运算 387

三 矢量的坐标表达式 391

四 数量积、矢量积、混合积 399

§3 平面及其方程 407

一 曲面方程的概念 407

二 平面的点法式方程 410

三 平面的一般式方程 412

四 平面的截距式方程 414

五 两平面的夹角 415

§4 空间直线及其方程 418

一 空间曲线方程的概念 418

二 直线的标准式方程与参量式方程 419

三 直线的一般式方程 421

四 两直线的相互位置 423

五 直线与平面的夹角 424

§5 曲面及其方程 426

一 柱面 426

二 旋转面 428

§6 二次曲面 431

一 椭球面 431

二 抛物面 433

三 双曲面 434

四 空间立体图形作法举例 437

§7 空间曲线及其方程 439

一 空间曲线的一般方程 439

二 空间曲线的参量方程 440

三 空间曲线在坐标面上的投影曲线 442

附录 积分表 447