序言 1
符号说明 1
第一章 集与映射 1
1 集及集的运算 1
1.1 集的概念 1
1.2 并集与交集 4
1.3 差集与余集 5
1.4 积集与投影 7
2 映射 10
2.1 映射与逆映射 10
2.2 映射的图象 16
2.3 映射的延拓与限制 17
2.4 映射的复合 17
2.5 集的特征函数 18
3 可列集与不可列集 20
3.1 可列集的概念 20
3.2 可列集的基本性质 21
3.3 不可列集举例 23
4 实数直线上的点集 25
4.1 上确界与下确界 25
4.2 实数点列的基本性质 31
4.3 闭区间的紧性 35
4.4 几个常用的不等式 37
4.5 上极限与下极限 40
习题 42
第二章 空间结构和抽象空间 48
1 集与空间 48
1.1 空间结构 48
1.2 Euclid空间 50
1.3 酉空间 55
2 线性运算 线性空间 57
2.1 线性运算 57
2.2 线性空间 60
2.3 线性子空间 61
2.4 线性相关与线性无关 64
2.5 维数与基 66
3 距离 度量空间 73
3.1 距离 73
3.2 度量空间 75
3.3 开集与闭集 77
3.4 聚点与闭包 82
3.5 极限与收敛 83
3.6 连续映射 85
3.7 Cauchy序列与完备度量空间 89
3.8 列紧性与紧性 93
3.9 压缩映射与不动点原理 98
4 范数 赋范线性空间 102
4.1 范数和半范数 102
4.2 赋范线性空间 106
4.3 强收敛 108
4.4 Banach空间 110
4.5 连续函数空间 112
5 内积 内积空间 115
5.1 内积 115
5.2 内积空间 116
5.3 Hilbert空间 119
5.4 正交与投影 120
5.5 正交集 126
6 拓扑 拓扑空间 135
6.1 拓扑 135
6.2 拓扑空间 136
6.3 拓扑空间的基本概念与性质 138
习题 142
第三章 LebcsgUe积分与Lp空间 155
1 积分概念的推广 155
1.1 Riemann积分的回顾 155
1.2 Lebesgue积分的基本思想 157
2.1 从区间的长度到集的测度 160
2 测度 160
2.2 外测度与内测度 166
2.3 可测集 170
2.4 Rn中的测度 179
3 可测函数 180
3.1 可测函数的定义 180
3.2 可测函数的基本性质 184
3.3 可测函数的结构 187
3.4 函数列依测度收剑的概念 188
4 Lebesgue积分 189
4.1 Lebesgue积分的定义 189
4.2 Lebesgue积分的基本性质 195
4.3 控制收剑定理 201
4.4 不可积的例子 205
4.5 重积分与累次积分 206
4.6 不定积分 208
5 Lp空间 211
5.1 定义与几个重要不等式 211
5.2 平均收敛 215
5.3 Lp空间的完备性 218
5.4 Lp空间的可分性 220
习题 221
1 算子与泛函的一般概念 225
1.1 算子与泛函 225
第四章 线性算子与线性泛函 225
1.2 线性算子与线性泛函 227
2 连续线性算子 231
2.1 有界线性算子及其范数 231
2.2 连续性与有界性 236
2.3 线性算子空间与对偶空间 239
3 连续线性泛函的表示与延拓 241
3.1 保范算子与同构 241
3.2 连续线性泛函的表示 243
3.3 连续线性泛函的延拓 248
3.4 二次对偶空间 254
4 Banach空间的几个基本定理 255
4.1 开映射定理 255
4.2 逆算子定理 255
4.3 闭图象定理 257
4.4 共鸣定理 259
5 几种收敛性 266
5.1 强收敛与一致收敛 266
5.2 弱收敛 268
5.3 弱?收敛 270
6 Hilbert空间的几种算子 273
6.1 伴随算子 273
6.2 自伴算子 277
6.3 投影算子 282
6.4 正算子 285
6.5 正规算子 289
6.6 酉算子 291
7 谱论简介 292
7.1 什么是谱论 292
7.2 有限维空间的谱论 295
7.3 自伴算子的谱 298
7.4 具有纯点谱的自伴算子 302
7.5 全连续算子的谱 305
7.6 关于一般有界线性算子的谱 308
习题 310
第五章 广义函数 315
1 广义函数论的发展 315
1.1 物理背景 315
1.2 广义函数大意 319
2 基本概念 321
2.1 基本函数与基本函数空间 321
2.2 广义函数与广义函数空间 323
2.3 广义函数的支集 328
3 广义函数的运算 329
3.1 广义函数的导数 329
3.2 广义函数的原函数 334
3.3 广义函数列的极限 337
3.4 广义函数的直积 341
3.5 关于广义函数的乘法运算 344
4 卷积 345
4.1 函数的卷积与磨光函数 345
4.2 广义函数的卷积 353
4.3 卷积的基本性质 355
4.4 基本解 358
5 Fourier变换 361
5.1 函数的Fourier变换 361
5.2 缓增广义函数的Fourier变换 369
5.3 几类缓增广义函数的Fourier变换 375
5.4 急增函数的Fourier变换 381
6 Sobolev空间 383
6.1 空间Wm,P(Ω) 383
6.2 空间Hm(Ω) 387
6.3 嵌入定理 390
习题 394
第六章 变分法与变分原理 397
1 变分法的问题 397
1.1 古典变分学问题 397
1.2 变分法的内容与意义 400
2.1 ？F(x,y,y′)dx型不动边界问题 401
2 Euler方程 401
2.2 ？F(x,y1,…,yn,y1′,…,yn′)dx型不动边界问题 406
2.3 ？F(x,y,y′,…,y(n))dx型不动边界问题 408
2.4 依赖多元函数的泛函 409
2.5 可动边界问题 411
2.6 条件极值问题 415
3 变分问题的直接法 418
3.1 Euler有限差分法 418
3.2 Ritz法 420
3.3 Канторович法 424
4.1 二次函数的极值 426
4 数学物理中的变分原理 426
4.2 能量法 430
4.3 虚功原理 436
4.4 广义解 439
5 Ritz-Galerkin方法 445
5.1 变分原理常用的近似解法 445
5.2 Ritz法的应用及Galerkin法 447
5.3 Ritz-Galerkin法的收敛性 451
习题 456
索引 460
集和空间的符号 471
有关外国数学家译名 472
参考书目 474