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序言 1

符号说明 1

第一章 集与映射 1

1 集及集的运算 1

1.1 集的概念 1

1.2 并集与交集 4

1.3 差集与余集 5

1.4 积集与投影 7

2 映射 10

2.1 映射与逆映射 10

2.2 映射的图象 16

2.3 映射的延拓与限制 17

2.4 映射的复合 17

2.5 集的特征函数 18

3 可列集与不可列集 20

3.1 可列集的概念 20

3.2 可列集的基本性质 21

3.3 不可列集举例 23

4 实数直线上的点集 25

4.1 上确界与下确界 25

4.2 实数点列的基本性质 31

4.3 闭区间的紧性 35

4.4 几个常用的不等式 37

4.5 上极限与下极限 40

习题 42

第二章 空间结构和抽象空间 48

1 集与空间 48

1.1 空间结构 48

1.2 Euclid空间 50

1.3 酉空间 55

2 线性运算 线性空间 57

2.1 线性运算 57

2.2 线性空间 60

2.3 线性子空间 61

2.4 线性相关与线性无关 64

2.5 维数与基 66

3 距离 度量空间 73

3.1 距离 73

3.2 度量空间 75

3.3 开集与闭集 77

3.4 聚点与闭包 82

3.5 极限与收敛 83

3.6 连续映射 85

3.7 Cauchy序列与完备度量空间 89

3.8 列紧性与紧性 93

3.9 压缩映射与不动点原理 98

4 范数 赋范线性空间 102

4.1 范数和半范数 102

4.2 赋范线性空间 106

4.3 强收敛 108

4.4 Banach空间 110

4.5 连续函数空间 112

5 内积 内积空间 115

5.1 内积 115

5.2 内积空间 116

5.3 Hilbert空间 119

5.4 正交与投影 120

5.5 正交集 126

6 拓扑 拓扑空间 135

6.1 拓扑 135

6.2 拓扑空间 136

6.3 拓扑空间的基本概念与性质 138

习题 142

第三章 LebcsgUe积分与Lp空间 155

1 积分概念的推广 155

1.1 Riemann积分的回顾 155

1.2 Lebesgue积分的基本思想 157

2.1 从区间的长度到集的测度 160

2 测度 160

2.2 外测度与内测度 166

2.3 可测集 170

2.4 Rn中的测度 179

3 可测函数 180

3.1 可测函数的定义 180

3.2 可测函数的基本性质 184

3.3 可测函数的结构 187

3.4 函数列依测度收剑的概念 188

4 Lebesgue积分 189

4.1 Lebesgue积分的定义 189

4.2 Lebesgue积分的基本性质 195

4.3 控制收剑定理 201

4.4 不可积的例子 205

4.5 重积分与累次积分 206

4.6 不定积分 208

5 Lp空间 211

5.1 定义与几个重要不等式 211

5.2 平均收敛 215

5.3 Lp空间的完备性 218

5.4 Lp空间的可分性 220

习题 221

1 算子与泛函的一般概念 225

1.1 算子与泛函 225

第四章 线性算子与线性泛函 225

1.2 线性算子与线性泛函 227

2 连续线性算子 231

2.1 有界线性算子及其范数 231

2.2 连续性与有界性 236

2.3 线性算子空间与对偶空间 239

3 连续线性泛函的表示与延拓 241

3.1 保范算子与同构 241

3.2 连续线性泛函的表示 243

3.3 连续线性泛函的延拓 248

3.4 二次对偶空间 254

4 Banach空间的几个基本定理 255

4.1 开映射定理 255

4.2 逆算子定理 255

4.3 闭图象定理 257

4.4 共鸣定理 259

5 几种收敛性 266

5.1 强收敛与一致收敛 266

5.2 弱收敛 268

5.3 弱?收敛 270

6 Hilbert空间的几种算子 273

6.1 伴随算子 273

6.2 自伴算子 277

6.3 投影算子 282

6.4 正算子 285

6.5 正规算子 289

6.6 酉算子 291

7 谱论简介 292

7.1 什么是谱论 292

7.2 有限维空间的谱论 295

7.3 自伴算子的谱 298

7.4 具有纯点谱的自伴算子 302

7.5 全连续算子的谱 305

7.6 关于一般有界线性算子的谱 308

习题 310

第五章 广义函数 315

1 广义函数论的发展 315

1.1 物理背景 315

1.2 广义函数大意 319

2 基本概念 321

2.1 基本函数与基本函数空间 321

2.2 广义函数与广义函数空间 323

2.3 广义函数的支集 328

3 广义函数的运算 329

3.1 广义函数的导数 329

3.2 广义函数的原函数 334

3.3 广义函数列的极限 337

3.4 广义函数的直积 341

3.5 关于广义函数的乘法运算 344

4 卷积 345

4.1 函数的卷积与磨光函数 345

4.2 广义函数的卷积 353

4.3 卷积的基本性质 355

4.4 基本解 358

5 Fourier变换 361

5.1 函数的Fourier变换 361

5.2 缓增广义函数的Fourier变换 369

5.3 几类缓增广义函数的Fourier变换 375

5.4 急增函数的Fourier变换 381

6 Sobolev空间 383

6.1 空间Wm,P(Ω) 383

6.2 空间Hm(Ω) 387

6.3 嵌入定理 390

习题 394

第六章 变分法与变分原理 397

1 变分法的问题 397

1.1 古典变分学问题 397

1.2 变分法的内容与意义 400

2.1 ？F(x,y,y′)dx型不动边界问题 401

2 Euler方程 401

2.2 ？F(x,y1,…,yn,y1′,…,yn′)dx型不动边界问题 406

2.3 ？F(x,y,y′,…,y(n))dx型不动边界问题 408

2.4 依赖多元函数的泛函 409

2.5 可动边界问题 411

2.6 条件极值问题 415

3 变分问题的直接法 418

3.1 Euler有限差分法 418

3.2 Ritz法 420

3.3 Канторович法 424

4.1 二次函数的极值 426

4 数学物理中的变分原理 426

4.2 能量法 430

4.3 虚功原理 436

4.4 广义解 439

5 Ritz-Galerkin方法 445

5.1 变分原理常用的近似解法 445

5.2 Ritz法的应用及Galerkin法 447

5.3 Ritz-Galerkin法的收敛性 451

习题 456

索引 460

集和空间的符号 471

有关外国数学家译名 472

参考书目 474