第一章 一般集理论 1
1 集与集的运算 1
1.集的概念 1
2.集的运算 3
3.集列的极限集 7
4.函数与集 9
5.集的特征函数 11
2 映射与势 15
1.映射 15
2.对等集与势 17
3.可列集与最小无限势？0 21
4.不可列集与连续点集的势？ 24
3 补充：商集与序 29
1.等价关系与商集 29
2.序关系与曹恩引理 32
第二章 直线上的点集 35
1 实数的构造 35
1.实数的构造 35
2.实数的四则运算 36
3.实数的大小顺序，绝对值 39
4.实数系的完备性 41
5.实数直线 44
2 直线上的点集 46
1.点与点集的关系 46
2.开集与闭集 48
3.直线上开集的构造 51
4.完全集 53
5.稠密和疏朗 55
第三章 测度 59
1 引言 59
1.问题的提出 59
2.可测集与测度概念的引入 61
3.新课题与新途径 64
2 集类与直线上的波雷尔集 67
1.具有特定性质的最大集类与最小集类 67
2.环与代数 68
3.σ环与σ代数 69
4.？(？) 71
5.单调类 73
6.波雷尔集 75
3 环上的测度 77
1.定义及基本性质 77
2.？0上的测度m 82
3.上一小节内容的两点引伸 86
4 测度的延拓 89
1.外测度及其性质 89
2.μ可测集 92
3.完全测度 97
5 直线上的勒贝格测度 98
1.等价定义 98
2.勒贝格可测集类？的构造 103
3.勒贝格测度的平移不变性与不可测集 104
4.唯一性定理 107
5.σ有限测度 108
6.勒贝格测度的推广 111
第四章 可测函数 117
1 可测函数定义及基本性质 117
1.问题的提出 117
2.可测空间 118
3.可测函数的定义 118
4.可测函数的性质 120
5.简单可测函数 124
6.可测函数的充要条件 126
7.一个例子 127
2 可测函数序列的收敛性 129
1.概述 129
2.测度空间与几乎处处 129
3.一个引理 131
4.叶果洛夫定理 132
5.依测度收敛 133
6.两种收敛性的关系 134
7.反例 136
8.依测度收敛可测函数列的性质 138
3 勒贝格可测函数的构造 143
1.从一般到特殊 143
2.从波雷尔可测函数的关系 143
3.连续性概念的推广 145
4.鲁津定理 148
5.鲁津定理的等价形式 150
第五章 勒贝格积分 156
1 黎曼积分理论的回顾 156
1.区间的分划 156
2.黎曼和，大和与小和 157
3.黎曼积分定义与可积函数的有界性 160
4.黎曼可积性的等价定义 161
5.黎曼不可积函数 166
2 狭义的勒贝格积分 167
1.勒贝格上积分与下积分 167
2.狭义的勒贝格积分的定义 169
3.狭义勒贝格可积函数的充要条件 172
3 一般的勒贝格积分 177
1.区间上一般勒贝格积分的定义 177
2.直线上的勒贝格积分定义 180
3.勒贝格可测集上的勒贝格积分定义 183
4.勒贝格积分的性质 187
5.勒贝格可积函数与连续函数 191
4 积分与极限可交换的条件 194
1.勒维引理与法都引理 194
2.勒贝格控制收敛定理 197
3.控制收敛定理的应用 198
5 不定积分与全连续函数 204
1.不定积分的全连续性 204
2.不定积分的导函数 205
3.牛顿-莱布尼兹公式 208
6 黎曼可积函数空间的完备化 213
1.距离空间及其完备化 213
2.空间L(E)的完备性 214
3.L〔a,b〕是R〔a,b〕的完备化空间 215
4.勒贝格可积函数的另一等价定义 218
7 重积分与富比尼定理 220
1.平面勒贝格可测集测度的积分表示 220
2.重积分与累次积分定义 224
3.富比尼定理 226
第六章 积分的一般理论 234
1 一般积分的定义与性质 234
1.一般积分的定义 234
2.几个引理 238
3.一般积分的性质 241
2 积分的极限定理 247
1.几个基本的积分极限定理 247
2.积分极限定理的应用 251
3 可积函数空间 255
1.巴拿赫空间 255
2.可积函数空间的范数及完备性 256
3.积分的等价定义 258
4.重积分与富比尼定理的一般形式 260
1.乘积测度空间 260
2.乘积空间中可测集测度的积分表示 263
3.一向重积分与累次积分定义 267
4.富比尼定理的一般形式 268
附录 勒贝格定理的证明 271