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第一章 一般集理论 1

1 集与集的运算 1

1.集的概念 1

2.集的运算 3

3.集列的极限集 7

4.函数与集 9

5.集的特征函数 11

2 映射与势 15

1.映射 15

2.对等集与势 17

3.可列集与最小无限势？0 21

4.不可列集与连续点集的势？ 24

3 补充：商集与序 29

1.等价关系与商集 29

2.序关系与曹恩引理 32

第二章 直线上的点集 35

1 实数的构造 35

1.实数的构造 35

2.实数的四则运算 36

3.实数的大小顺序，绝对值 39

4.实数系的完备性 41

5.实数直线 44

2 直线上的点集 46

1.点与点集的关系 46

2.开集与闭集 48

3.直线上开集的构造 51

4.完全集 53

5.稠密和疏朗 55

第三章 测度 59

1 引言 59

1.问题的提出 59

2.可测集与测度概念的引入 61

3.新课题与新途径 64

2 集类与直线上的波雷尔集 67

1.具有特定性质的最大集类与最小集类 67

2.环与代数 68

3.σ环与σ代数 69

4.？(？) 71

5.单调类 73

6.波雷尔集 75

3 环上的测度 77

1.定义及基本性质 77

2.？0上的测度m 82

3.上一小节内容的两点引伸 86

4 测度的延拓 89

1.外测度及其性质 89

2.μ可测集 92

3.完全测度 97

5 直线上的勒贝格测度 98

1.等价定义 98

2.勒贝格可测集类？的构造 103

3.勒贝格测度的平移不变性与不可测集 104

4.唯一性定理 107

5.σ有限测度 108

6.勒贝格测度的推广 111

第四章 可测函数 117

1 可测函数定义及基本性质 117

1.问题的提出 117

2.可测空间 118

3.可测函数的定义 118

4.可测函数的性质 120

5.简单可测函数 124

6.可测函数的充要条件 126

7.一个例子 127

2 可测函数序列的收敛性 129

1.概述 129

2.测度空间与几乎处处 129

3.一个引理 131

4.叶果洛夫定理 132

5.依测度收敛 133

6.两种收敛性的关系 134

7.反例 136

8.依测度收敛可测函数列的性质 138

3 勒贝格可测函数的构造 143

1.从一般到特殊 143

2.从波雷尔可测函数的关系 143

3.连续性概念的推广 145

4.鲁津定理 148

5.鲁津定理的等价形式 150

第五章 勒贝格积分 156

1 黎曼积分理论的回顾 156

1.区间的分划 156

2.黎曼和，大和与小和 157

3.黎曼积分定义与可积函数的有界性 160

4.黎曼可积性的等价定义 161

5.黎曼不可积函数 166

2 狭义的勒贝格积分 167

1.勒贝格上积分与下积分 167

2.狭义的勒贝格积分的定义 169

3.狭义勒贝格可积函数的充要条件 172

3 一般的勒贝格积分 177

1.区间上一般勒贝格积分的定义 177

2.直线上的勒贝格积分定义 180

3.勒贝格可测集上的勒贝格积分定义 183

4.勒贝格积分的性质 187

5.勒贝格可积函数与连续函数 191

4 积分与极限可交换的条件 194

1.勒维引理与法都引理 194

2.勒贝格控制收敛定理 197

3.控制收敛定理的应用 198

5 不定积分与全连续函数 204

1.不定积分的全连续性 204

2.不定积分的导函数 205

3.牛顿-莱布尼兹公式 208

6 黎曼可积函数空间的完备化 213

1.距离空间及其完备化 213

2.空间L(E)的完备性 214

3.L〔a,b〕是R〔a,b〕的完备化空间 215

4.勒贝格可积函数的另一等价定义 218

7 重积分与富比尼定理 220

1.平面勒贝格可测集测度的积分表示 220

2.重积分与累次积分定义 224

3.富比尼定理 226

第六章 积分的一般理论 234

1 一般积分的定义与性质 234

1.一般积分的定义 234

2.几个引理 238

3.一般积分的性质 241

2 积分的极限定理 247

1.几个基本的积分极限定理 247

2.积分极限定理的应用 251

3 可积函数空间 255

1.巴拿赫空间 255

2.可积函数空间的范数及完备性 256

3.积分的等价定义 258

4.重积分与富比尼定理的一般形式 260

1.乘积测度空间 260

2.乘积空间中可测集测度的积分表示 263

3.一向重积分与累次积分定义 267

4.富比尼定理的一般形式 268

附录 勒贝格定理的证明 271