前言 1
第一章 绪论 1
1 微分方程 1
2 数值求解微分方程的意义 3
3 数值求解方法概述 5
第二章 常微分方程的初值问题 8
1 常微分方程的若干理论 8
2 单步方法 10
2.1 从Euler方法谈起 10
2.2 高阶单步方法的构造 23
2.3 高阶单步方法的性态分析 32
2.4 高阶单步方法的计算 38
3.1 Adams方法和Gear方法 40
3 线性多步方法 40
3.2 一般线性多步方法的构造 45
3.3 线性多步方法的性态分析 49
3.4 线性多步方法的计算 67
4 微分方程组和刚性问题 76
4.1 一阶常微分方程组 76
4.2 刚性问题 81
4.3 刚性问题的数值方法 84
习题 88
计算实习 92
第三章 差分法解边值问题 95
1 解两点边值问题的差分方法 95
1.1 差分格式的导出 95
1.2 差分解的性态研究 99
1.3 解差分方程组的追赶法 103
2.1 矩形网格 105
2 解椭圆边值问题的差分方法 105
2.2 边界条件处理 110
2.3 三角形网格 114
3 椭圆差分方程的性态研究 118
3.1 极值原理和解的存在唯一性 118
3.2 差分解的收敛性和误差估计 119
3.3 五点差分格式的敛速估计 123
习题 125
计算实习 127
第四章 外推法 130
1 外推法的引入 130
1.1 用外推法进行误差估计 130
1.2 一个简单的例子 133
2 展开式定理 137
3.1 多项式外推 142
3 加速收敛 142
3.2 偶次幂余项的外推 148
4 外推方法的应用 152
4.1 常微分方程初值问题--Euler方法 152
4.2 常微分方程初值问题--中心差分格式 158
4.3 有理外推法的执行 163
4.4 常微分方程两点边值问题 165
习题 167
计算实习 169
第五章 发展方程的差分方法 171
1 几个典型的发展方程 171
2 扩散方程的差分化 178
2.1 扩散方程的离散 178
2.2 计算格式示例 183
2.3 第一类混合问题差分方程的真解 188
3.1 稳定性与收敛性 196
3 稳定性分析 196
3.2 Lax等价原理 198
3.3 稳定性分析方法之一--直接法 202
3.4 稳定性分析方法之二--分离变量法 208
3.5 稳定性分析方法之三--最大模方法 213
3.6 稳定性分析方法之四--传播因子法 218
3.7 算例分析 224
3.8 稳定性的进一步讨论 233
4 双曲型方程的差分化和稳定性 240
4.1 对流方程的离散 240
4.2 波动方程的离散 246
4.3 稳定性分析 250
4.4 线性双曲型方程组的差分化 255
5.1 高维发展方程的差分化 264
5 高维问题 264
5.2 交替方向迭代法 269
习题 274
计算实习 276
第六章 变分及泛函的极值问题 279
1 变分问题 279
1.1 从两点边值问题谈起 279
1.2 泛函和变分 284
1.3 两点边值问题的变分形式 287
1.4 椭圆型方程的变分形式 291
2 泛函的极值问题 300
2.1 与两点边值问题等价的泛函极值问题 300
2.2 与椭圆型方程相应的泛函极值问题 306
2.3 极值问题与变分问题之间的联系 309
3 变分和泛函极值问题的近似求解 313
3.1 变分和泛函极值问题的进一步讨论 313
3.2 Ritz法 318
3.3 Galerkin法 325
习题 327
计算实习 329
第七章 椭圆型方程的有限元解法 332
1 解两点边值问题的有限元方法 332
1.1 基于变分问题的有限元方法 332
1.2 基于泛函极值问题的有限元方法 340
1.3 有限元方法解两点边值问题的误差估计 348
1.4 高次形状函数的有限元方程 360
2 多角区域上椭圆型方程的有限元方法 364
2.1 有限元方法解椭圆型方程的过程 364
2.2 有限元方法解椭圆型方程的误差估计 373
2.3 面积坐标 383
2.4 高次形状函数的有限元方程 389
3.1 光滑区域上的有限元方法 394
3 曲边三角形和等参元 394
3.2 等参元 403
4 有限元方法的超收敛性质简介 411
习题 416
计算实习 417
第八章 多重网格法和区域分裂法简介 420
1 多重网格法简介 420
1.1 经典迭代算法的缺陷 420
1.2 多重网格法的基本思想 424
1.3 多重网格法的格式 427
2 区域分裂法简介 432
2.1 区域分裂法的思想 432
2.2 加性Schwarz方法 436
2.3 条件数估计 441
附录 差分方程简介 447
习题 457