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前言 1

第一章 绪论 1

1 微分方程 1

2 数值求解微分方程的意义 3

3 数值求解方法概述 5

第二章 常微分方程的初值问题 8

1 常微分方程的若干理论 8

2 单步方法 10

2.1 从Euler方法谈起 10

2.2 高阶单步方法的构造 23

2.3 高阶单步方法的性态分析 32

2.4 高阶单步方法的计算 38

3.1 Adams方法和Gear方法 40

3 线性多步方法 40

3.2 一般线性多步方法的构造 45

3.3 线性多步方法的性态分析 49

3.4 线性多步方法的计算 67

4 微分方程组和刚性问题 76

4.1 一阶常微分方程组 76

4.2 刚性问题 81

4.3 刚性问题的数值方法 84

习题 88

计算实习 92

第三章 差分法解边值问题 95

1 解两点边值问题的差分方法 95

1.1 差分格式的导出 95

1.2 差分解的性态研究 99

1.3 解差分方程组的追赶法 103

2.1 矩形网格 105

2 解椭圆边值问题的差分方法 105

2.2 边界条件处理 110

2.3 三角形网格 114

3 椭圆差分方程的性态研究 118

3.1 极值原理和解的存在唯一性 118

3.2 差分解的收敛性和误差估计 119

3.3 五点差分格式的敛速估计 123

习题 125

计算实习 127

第四章 外推法 130

1 外推法的引入 130

1.1 用外推法进行误差估计 130

1.2 一个简单的例子 133

2 展开式定理 137

3.1 多项式外推 142

3 加速收敛 142

3.2 偶次幂余项的外推 148

4 外推方法的应用 152

4.1 常微分方程初值问题--Euler方法 152

4.2 常微分方程初值问题--中心差分格式 158

4.3 有理外推法的执行 163

4.4 常微分方程两点边值问题 165

习题 167

计算实习 169

第五章 发展方程的差分方法 171

1 几个典型的发展方程 171

2 扩散方程的差分化 178

2.1 扩散方程的离散 178

2.2 计算格式示例 183

2.3 第一类混合问题差分方程的真解 188

3.1 稳定性与收敛性 196

3 稳定性分析 196

3.2 Lax等价原理 198

3.3 稳定性分析方法之一--直接法 202

3.4 稳定性分析方法之二--分离变量法 208

3.5 稳定性分析方法之三--最大模方法 213

3.6 稳定性分析方法之四--传播因子法 218

3.7 算例分析 224

3.8 稳定性的进一步讨论 233

4 双曲型方程的差分化和稳定性 240

4.1 对流方程的离散 240

4.2 波动方程的离散 246

4.3 稳定性分析 250

4.4 线性双曲型方程组的差分化 255

5.1 高维发展方程的差分化 264

5 高维问题 264

5.2 交替方向迭代法 269

习题 274

计算实习 276

第六章 变分及泛函的极值问题 279

1 变分问题 279

1.1 从两点边值问题谈起 279

1.2 泛函和变分 284

1.3 两点边值问题的变分形式 287

1.4 椭圆型方程的变分形式 291

2 泛函的极值问题 300

2.1 与两点边值问题等价的泛函极值问题 300

2.2 与椭圆型方程相应的泛函极值问题 306

2.3 极值问题与变分问题之间的联系 309

3 变分和泛函极值问题的近似求解 313

3.1 变分和泛函极值问题的进一步讨论 313

3.2 Ritz法 318

3.3 Galerkin法 325

习题 327

计算实习 329

第七章 椭圆型方程的有限元解法 332

1 解两点边值问题的有限元方法 332

1.1 基于变分问题的有限元方法 332

1.2 基于泛函极值问题的有限元方法 340

1.3 有限元方法解两点边值问题的误差估计 348

1.4 高次形状函数的有限元方程 360

2 多角区域上椭圆型方程的有限元方法 364

2.1 有限元方法解椭圆型方程的过程 364

2.2 有限元方法解椭圆型方程的误差估计 373

2.3 面积坐标 383

2.4 高次形状函数的有限元方程 389

3.1 光滑区域上的有限元方法 394

3 曲边三角形和等参元 394

3.2 等参元 403

4 有限元方法的超收敛性质简介 411

习题 416

计算实习 417

第八章 多重网格法和区域分裂法简介 420

1 多重网格法简介 420

1.1 经典迭代算法的缺陷 420

1.2 多重网格法的基本思想 424

1.3 多重网格法的格式 427

2 区域分裂法简介 432

2.1 区域分裂法的思想 432

2.2 加性Schwarz方法 436

2.3 条件数估计 441

附录 差分方程简介 447

习题 457