第一章 绪论 1
1 微分方程，例题 1
1.1. 微分方程 1
1.2. 微分方程的分类 2
1.3. 例题 2
2 微分方程的解 5
2.1. 微分方程的解 5
2.2. 初值问题，通解 5
3 方向场 8
4 解的存在唯一性 10
第二章 一阶微分方程 14
1 变量分离方程，一阶线性方程 14
1.1. 变量分离方程 14
1.2. 一阶线性微分方程 18
2 变量代换 21
2.1. 齐次方程 21
2.2. 贝努利方程 24
2.3. 黎卡提方程 25
2.4. 按方程形式启示作代换 27
3 全微分方程，积分因子 32
3.1. 全微分方程 32
3.2. 观察法 35
3.3. 积分因子 39
4 一阶隐微分方程 46
4.1.一阶n次微分方程 46
4.2. 方程y=f(x,y＇) 47
4.3. 方程x=g(y,y＇) 51
4.4. 一般方程F(x,y,y＇)=0 52
4.5. 包络与奇解 53
5 一阶微分方程的应用 57
5.1. 等角轨线 57
5.2. 力学问题举例 60
第三章 高阶微分方程 62
1 特殊高阶方程 62
1.1. 方程y(n)=f(x) 62
1.2. 可降阶方程 63
2 变系数线性微分方程 70
2.1. 解的存在唯一性定理 71
2.2. 齐次方程解的可加性 71
2.3. 函数组的线性相关性，朗斯基行列式 72
2.4. 基本解组 76
2.5. 通解 77
2.6. 刘维尔定理 79
2.7. 降阶法 83
2.8. 常数变易法 85
3 常系数线性微分方程 89
3.1. 多项式算子 89
3.2. 常系数线性齐次方程的通解 91
3.3. 常系数线性非齐次方程的特解 96
3.4. 拉普拉斯变换及其应用 109
4 二阶变系数线性微分方程 121
4.1. 二阶变系数线性方程的五个解法 121
4.2. 幂级数解法 131
4.3. 二阶线性齐次方程解的零点分布 145
4.4. 二阶线性方程的边值问题 150
第四章 微分方程组 158
1 引言 158
1.1. 微分方程组 158
1.2. 解的存在唯一性定理，通解 159
1.3. 线性微分方程组 161
2 变系数线性微分方程组 162
2.1. 解的可加性 163
2.2. 线性相关性，朗斯基行列式 164
2.3. 刘维尔定理 165
2.4. 通解 168
2.5. 常数变易法 172
2.6. 降阶法 175
3 常系数线性方程组 179
3.1. 特征根法 179
3.2. 矩阵指数法 194
3.3. 常数变易法 198
3.4. 拉普拉斯变换法 200
3.5. 消元法 202
3.6. 应用举例 208
4 一般微分方程组，首次积分 214
5 一阶偏微分方程 221
5.1. 一阶线性齐次偏微分方程 222
5.2. 一阶拟线性偏微分方程 225
5.3. 一阶拟线性偏微分方程的柯西问题 229
第五章 基本理论与定性理论初步 234
1 基本理论 234
1.1. 基本定理 234
1.2. 解的延拓 242
1.3. 解对初值的连续依赖性与可微性 245
2 定性理论初步 248
2.1. 自治系统，相平面 248
2.2. 解的稳定性 254
2.3. 初等奇点附近的轨线分布 270
2.4. 极限环理论初步 280
附录 向量级数与矩阵级数 286
参考文献 297