第八章 多元函数微分学 1
1 多元函数的概念 1
一 平面点集与区域 1
二 多元函数的概念 4
三 二元函数的极限与连续性 7
2 偏导数 13
一 偏导数的概念 13
二 高阶偏导数 18
3 全微分及其应用 22
一 全微分的概念 22
二 全微分在近似计算中的应用 28
4 多元复合函数微分法 32
一 多元复合函数微分法 32
二 全微分形式不变性 39
三 多元复合函数的高价偏导数 40
5 隐函数微分法 43
一 一个方程所确定的隐函数的微分法 43
二 方程组所确定的隐函数的微分法 46
6 方向导数与梯度 52
一 方向导数 52
二 梯度 54
7 偏导数在几何上的应用 57
一 空间曲线的切线与法平面 57
二 曲面的切平面与法线 62
8 多元函数的极值及求法 66
一 多元函数的极值及求法 66
二 条件极值——拉格朗日乘数法 74
9 二元函数的台劳公式 79
一 二元函数的台劳公式 79
二 二元函数极值充分条件的证明 84
第九章 重积分 88
1 二重积分的概念及性质 88
一 二重积分问题的引例 88
二 二重积分的定义 90
三 二重积分的性质 91
2 二重积分的计算 93
一 直角坐标系中二重积分的计算方法 93
二 极坐标系中二重积分的计算方法 103
三 二重积分的一般变量代换 109
3 三重积分的概念及性质 112
一 三重积分的定义 112
二 三重积分的性质 113
4 三重积分的计算 115
一 直角坐标系中三重积分的计算法 115
二 柱面坐标系中三重积分的计算法 121
三 球面坐标系中三重积分的计算法 123
四 三重积分的一般变量代换 127
5 重积分的应用 130
一 几何方面的应用 130
二 物理、力学方面的应用 134
第十章 曲线积分及曲面积分 140
1 第一类曲线积分 140
一 第一类曲线积分的概念及性质 140
二 第一类曲线积分的计算 143
2 第二类曲线积分 146
一 矢量场的概念 147
二 第二类曲线积分的概念及性质 147
三 第二类曲线积分的计算法 151
四 第一、二类曲线积分之间的关系 158
3 格林公式 159
一 格林(Green)公式 160
二 平面曲线积分与路径无关的条件 168
4 第一类曲面积分 174
一 第一类曲面积分的概念及性质 174
二 第一类曲面积分的计算法 176
5 第二类曲面积分 178
一 有向曲面 178
二 第二类曲面积分的概念及性质 179
三 第二类曲面积分的计算法 184
6 高斯公式 曲面积分与曲面无关的条件 189
一 高斯(Gauss)公式 189
二 曲面积分与曲面无关的条件 194
7 斯托克斯公式 空间曲线积分与路径无关的条件 196
一 斯托克斯(Stokes)公式 196
二 空间曲线积分与路径无关的条件 201
8 矢量场的散度与旋度 202
一 矢量场的散度 202
二 矢量场的旋度 205
三 哈米尔顿(Hamilton)算子 209
第十一章 级数 213
1 数项级数 213
一 无穷级数的基本概念 213
二 级数的基本性质 216
三 正项级数敛散性的判别法 220
四 任意项级数敛散性的判别法 231
2 幂级数 240
一 幂级数的收敛区间与收敛半径 241
二 幂级数的性质 247
3 函数的幂级数展开 255
一 台劳级数 255
二 函数展开成幂级数 258
三 台劳级数的应用 265
4 函数项级数的一致收敛性和一致收敛级数的基本性质 274
一 函数项级数的一致收敛性 276
二 一致收敛级数的基本性质 281
5 傅立叶级数 286
一 三角函数系的正交性 288
二 傅立叶级数 290
三 正弦级数与余弦级数 298
四 一般周期函数的傅立叶级数 304
五 傅立叶级数的复数形式 310
第十二章 微分方程 315
1 微分方程的基本概念 315
一 引例 315
二 微分方程的基本概念 318
2 一阶微分方程 320
一 可分离变量方程 320
二 齐次方程 324
三 一阶线性方程 327
四 全微分方程 332
五 一阶微分方程应用举例 338
六 一阶微分方程的近似解法 345
3 可降阶的高阶微分方程 350
一 y(n)=f(x)型 351
二 y″=f(x,y′)型 352
三 y″=f(y,y′)型 353
四 可降阶的高阶微分方程应用举例 354
4 线性微分方程解的结构 357
一 线性齐次微分方程解的结构 358
二 线性非齐次微分方程解的结构 360
5 常系数线性微分方程 361
一 常系数线性齐次微分方程 361
二 常系数线性非齐次微分方程 366
三 常系数线性微分方程的应用举例 375
6 变系数线性微分方程 382
一 二阶变系数线性齐次方程 383
二 二阶变系数线性非齐次方程 386
三 欧拉方程 388
7 常微分方程的幂级数解法简介 390