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第八章 多元函数微分学 1

1 多元函数的概念 1

一 平面点集与区域 1

二 多元函数的概念 4

三 二元函数的极限与连续性 7

2 偏导数 13

一 偏导数的概念 13

二 高阶偏导数 18

3 全微分及其应用 22

一 全微分的概念 22

二 全微分在近似计算中的应用 28

4 多元复合函数微分法 32

一 多元复合函数微分法 32

二 全微分形式不变性 39

三 多元复合函数的高价偏导数 40

5 隐函数微分法 43

一 一个方程所确定的隐函数的微分法 43

二 方程组所确定的隐函数的微分法 46

6 方向导数与梯度 52

一 方向导数 52

二 梯度 54

7 偏导数在几何上的应用 57

一 空间曲线的切线与法平面 57

二 曲面的切平面与法线 62

8 多元函数的极值及求法 66

一 多元函数的极值及求法 66

二 条件极值——拉格朗日乘数法 74

9 二元函数的台劳公式 79

一 二元函数的台劳公式 79

二 二元函数极值充分条件的证明 84

第九章 重积分 88

1 二重积分的概念及性质 88

一 二重积分问题的引例 88

二 二重积分的定义 90

三 二重积分的性质 91

2 二重积分的计算 93

一 直角坐标系中二重积分的计算方法 93

二 极坐标系中二重积分的计算方法 103

三 二重积分的一般变量代换 109

3 三重积分的概念及性质 112

一 三重积分的定义 112

二 三重积分的性质 113

4 三重积分的计算 115

一 直角坐标系中三重积分的计算法 115

二 柱面坐标系中三重积分的计算法 121

三 球面坐标系中三重积分的计算法 123

四 三重积分的一般变量代换 127

5 重积分的应用 130

一 几何方面的应用 130

二 物理、力学方面的应用 134

第十章 曲线积分及曲面积分 140

1 第一类曲线积分 140

一 第一类曲线积分的概念及性质 140

二 第一类曲线积分的计算 143

2 第二类曲线积分 146

一 矢量场的概念 147

二 第二类曲线积分的概念及性质 147

三 第二类曲线积分的计算法 151

四 第一、二类曲线积分之间的关系 158

3 格林公式 159

一 格林(Green)公式 160

二 平面曲线积分与路径无关的条件 168

4 第一类曲面积分 174

一 第一类曲面积分的概念及性质 174

二 第一类曲面积分的计算法 176

5 第二类曲面积分 178

一 有向曲面 178

二 第二类曲面积分的概念及性质 179

三 第二类曲面积分的计算法 184

6 高斯公式 曲面积分与曲面无关的条件 189

一 高斯(Gauss)公式 189

二 曲面积分与曲面无关的条件 194

7 斯托克斯公式 空间曲线积分与路径无关的条件 196

一 斯托克斯(Stokes)公式 196

二 空间曲线积分与路径无关的条件 201

8 矢量场的散度与旋度 202

一 矢量场的散度 202

二 矢量场的旋度 205

三 哈米尔顿(Hamilton)算子 209

第十一章 级数 213

1 数项级数 213

一 无穷级数的基本概念 213

二 级数的基本性质 216

三 正项级数敛散性的判别法 220

四 任意项级数敛散性的判别法 231

2 幂级数 240

一 幂级数的收敛区间与收敛半径 241

二 幂级数的性质 247

3 函数的幂级数展开 255

一 台劳级数 255

二 函数展开成幂级数 258

三 台劳级数的应用 265

4 函数项级数的一致收敛性和一致收敛级数的基本性质 274

一 函数项级数的一致收敛性 276

二 一致收敛级数的基本性质 281

5 傅立叶级数 286

一 三角函数系的正交性 288

二 傅立叶级数 290

三 正弦级数与余弦级数 298

四 一般周期函数的傅立叶级数 304

五 傅立叶级数的复数形式 310

第十二章 微分方程 315

1 微分方程的基本概念 315

一 引例 315

二 微分方程的基本概念 318

2 一阶微分方程 320

一 可分离变量方程 320

二 齐次方程 324

三 一阶线性方程 327

四 全微分方程 332

五 一阶微分方程应用举例 338

六 一阶微分方程的近似解法 345

3 可降阶的高阶微分方程 350

一 y(n)=f(x)型 351

二 y″=f(x，y′)型 352

三 y″=f(y，y′)型 353

四 可降阶的高阶微分方程应用举例 354

4 线性微分方程解的结构 357

一 线性齐次微分方程解的结构 358

二 线性非齐次微分方程解的结构 360

5 常系数线性微分方程 361

一 常系数线性齐次微分方程 361

二 常系数线性非齐次微分方程 366

三 常系数线性微分方程的应用举例 375

6 变系数线性微分方程 382

一 二阶变系数线性齐次方程 383

二 二阶变系数线性非齐次方程 386

三 欧拉方程 388

7 常微分方程的幂级数解法简介 390