第一部分 一般解法 1
第一章 线性与拟线性微分方程 1
1.引言 1
1.1. 一般概念.记号及术语 1
1.2. 解的性态预述 3
2.两个自变量的齐次线性方程：f(x,y)p+g(x,y)q=0 4
2.1. 几何解释 4
2.2. 关于积分和等高线的注记 5
2.3. 特征线与积分曲面 8
2.4. 利用特征线求方程的解 10
某些记号与缩写 11
2.5. 借助于特征方程的组合求解方程 11
2.6. 特殊情况：p+f(x,y)q=0 13
10.2. 一般存在定理.柯西特征方法 17
2.7. 函数相关性和雅可比行列式(附录) 18
2.8. 主积分.存在定理.柯西问题 24
2.9. 关于利用级数展开的注记 26
2.10. 解法概述 27
3. 一般的n个自变量的齐次线性方程：？fv(r)pv=0 27
3.1. 定义和注记 27
3.2. 特征线与积分曲面 28
3.3. 借助于特征方程的组合求解方程 29
3.4. 积分的基本组.柯西问题 30
3.5. 特积分已知时方程的简化 32
3.6. 特殊情况：p+？fv(x,y)qv=0 35
3.7. 积分的存在.柯西问题的解 39
3.8. 雅可比乘子 40
3.9. 其它注记 43
3.10. 解法概述 43
4.2. 化一般线性方程为齐次线性方程 44
4.1. 定义 44
4. 一般线性方程：？fv(r)pv+fo(r)z=f(r) 44
4.3. 存在性与唯一性定理 46
4.4. 哈尔不等式 47
4.5. n=2的情况(补充定理) 48
5.1. 几何解释 50
5. 拟线性方程：？fv(r,z)pv=g(r,z) 50
5.2. 特征线与积分曲面 51
5.3. 利用积分曲面的几何特性求解微分方程的例子 52
5.4. 化拟线性方程为齐次线性方程 56
5.5. 特殊情况：p+？fv(x,y,z)qv=g(x,y,z) 58
5.6. 柯西问题的解 61
5.7. 展成幂级数求解 63
5.8. 解法概述 63
6. 线性方程组 64
6.1. 特殊情况：pv=fv(r),(v=1,…,n) 64
6.2. 一般线性方程组：定义和记号 65
6.3. 对合组与完全组 68
6.4. 解雅可比组的梅耶方法 70
6.5. 完全组的性质 72
6.6. 齐次组 73
6.7. 齐次组的简化 76
6.8. 一般方程组的简化 81
6.9. 解法概述 82
7. 拟线性方程组 83
7.1. 特殊情况 83
7.2. 一般拟线性方程组 85
8.1. 方程的几何解释 87
8. 一般概念、记号及术语 87
第二章 两个自变量的非线性微分方程 87
8.2. 特征(条)的几何解释 89
8.3. 条形的定义 91
8.4. 特征方程组的导出 91
8.5. 推导特征方程组的其它方法 93
8.6. 正常面元素.奇异面元素 97
8.7. 特征条.积分条与积分曲面 98
8.8. 特积分.奇积分.全积分.通积分 99
9. 拉格朗日方法 101
9.1. 首次积分 101
9.2. 由两个非显见的首次积分求全积分 104
9.3. 由一个非显见的首次积分求全积分 107
9.4. 由两个非显见的首次积分求单参数积分族 109
9.5. 由一个全积分求其它积分 110
9.6. 通过已给定的初始条形的积分曲面(柯西问题) 112
10. 存在定理和某些其它解法 115
10.1. 正规柯西问题 115
10.3. 特殊情况：p=f(x,y,z,q) 119
10.4. 解析函数情况下用幂级数求解 121
10.5. 用更一般的级数求解 122
10.6. 不等式与估值 126
10.7. 解法概述 126
11.2. F(v,q)=0 127
11. 两个自变量的特殊形状的非线性方程的解法 127
11.1. F(x,y,z,p)=0或F(x,y,z,q)=0 127
11.3. F(z,p,q)=0 129
11.4. p=f(x,q)或q=g(y,p) 130
11.5. f(x,p)=g(y,q)与F［f(x,pψ(z)),g(y,qψ(z))］=0 130
11.6. f(x,p)+g(y,q)=z 130
11.7. p=f(？,q),F(？,p,q,xp+yq-z)=0 131
11.8. F(xp+yq,z,p,q)=0 131
11.9. p2+q2=f(x2+y2,yp-xq) 131
11.10. F［f(x)p,g(y)q,z］=0 132
11.11. f(p,q)=xp+yq；f关于p及q是齐次的 133
11.12. z=xp+yq+f(p,q)与F(p,q,z-xp-yq)=0.克莱罗方程 134
11.13. F(x,y,p,q)=0 136
11.14. F(x,y,z,p,q)=0.勒让德变换 137
11.15. F(x,y,z,p,q)=0.欧拉变换 138
11.16. F(xp-z,y,p,q)=0 139
11.17. xf(y,p,xp-z)+qg(y,p,xp-z)=h(y,p,xp-z) 139
11.18 qf(u)=xp-yq,xqf(u)=xp-yq,xf(u,p,q)+yg(u,p,q)=h(u,p,q),其中u=xp+yq-z 140
第三章 n个自变量的非线性微分方程与方程组 141
12.n个自变量的非线性方程：F(r,z,p)=0 141
12.1. 一般概念.记号及术语 141
12.2. 特征条形与积分曲面 143
12.3. 化方程为仅含有未知函数的导数的方程 145
12.4. 在解析函数情况下用幂级数求解 147
12.5. 一般存在定理.柯西特征方法 147
12.6. 显式微分方程的解的存在性与唯一性定理.存在区域的估计 150
12.7. 全积分的存在定理.由全积分求其它的积分 152
12.8. 雅可比解法 155
12.9. 特殊情况：p=f(x,y,q) 156
12.10. 在力学中的应用 158
12.11. 不等式与估计 161
13. n个自变量的特殊形状的非线性方程的解法 162
13.1. F(p)=0 162
13.3. F［f1(x1,p1ψ(z)),…，fn(xn,pnψ(z))］=0.可分离变量方程 163
13.2. F(z,p)=0 163
13.4. 齐次方程 164
13.5. F(r,z,p)=0.勒让德变换 165
13.6. ？pvfv=？xvfv-fn+1,其中1≤k≤n,fv=fv(x1，…，xk-1,pk,…，pn,？xvpv-z) 166
13.7. z=x1p1+…+xnpn+f(p1，…，pn).克莱罗方程 167
14. 非线性方程组 167
14.1. 显式方程组.可积性条件 167
14.2. 解析函数范围内雅可比组的解的存在与唯一性定理 168
14.3. 雅可比组在实函数范围内的解的存在与唯一性定理.用梅耶变换化雅可比组为一个方程 168
14.4. 雅可比括号.泊松括号 171
14.5. 一般非线性方程组 172
14.6. 对合组与完全组 173
14.7. 不依赖于z的对合组的雅可比解法 174
14.8. 勒让德变换的应用 177
14.9. 一般方程组的雅可比解法 179
第二部分 各种微分方程 183
引言 183
第一章 仅含一个偏导数的微分方程 185
第二章 两个自变量的线性与拟线性微分方程 187
1-12. f(x,y)p+g(x,y)q=0 187
13-19. f(x,y)p+g(x,y)q=h(x,y) 192
20-31. f(x,y)p+g(x,y)q=h1(x,y)z+ho(x,y) 194
32-43. f(x,y)p+g(x,y)q=h(x,y,z) 198
44-59. f(x,y,z)p+g(x,y,z)q=h(x,y,z),函数f,g关于z是线性的 203
60-65. f(x,y,x)p+g(x,y,z)q=h(x,y,z),函数f,g关于z不高于二次 209
66-71. 其它拟线性方程 210
第三章 三个自变量的线性与拟线性微分方程 213
1-19. f(x,y,z)wx+g(x,y,z)w,+h(x,y,z)wz=0,函数f,g,h的次数不超过1 213
1-6. 单项系数 213
7-11. 二项系数 214
12-19. 三项系数 215
20-41. f(x,y,z)wx+g(x,y,z)wy+h(x,y,z)wz=0，函数f,g,h的次数不超过2 220
20-27. 单项系数 220
28-38. 二项系数 221
42-59. f(x,y,z)wx+g(x,y,z)wy+h(x,y,z)wz=0,其它情况 223
39-41. 三项系数 223
60-64. 一般线性与拟线性微分方程 230
第四章 四个和更多个自变量的线性与拟线性微分方程 233
第五章 线性与拟线性微分方程组 240
1-2. 两个自变量 240
3-9. 三个自变量 241
10-17. 四个自变量，两个方程 244
18-23. 四个自变量，三个方程 247
24-29. 五个自变量，两个方程 250
30-32. 五个自变量，三个或四个方程 254
33-36. 其它方程组 255
1-13. ap2+… 259
第六章 两个自变量的非线性微分方程 259
14-20. f(x,y,z)p2+… 262
21-33. apq+… 265
34-42. f(x,y)pq+… 269
43-48. f(z)pq+… 276
49-54. (··)p2+(··)pq+… 277
55-68. ap2+bq2=f(x,y),f(x,y,z) 279
69-74. f(x,y)p2+g(x,y)q2+h(x,y,z) 284
75-80. f(x,y,z)p2+g(x,y,z)q2=h(x,y,z) 289
81-88. (··)p2+(··)q2+(··)p+(··)q+ 291
89-111. (··)p2+(··)q2+(··)pq+… 294
112-127. 关于p,q为三次与四次的方程 304
128-139. 其它非线性方程 307
第七章 三个自变量的非线性微分方程 311
1-7. 含有一个或两个导数二次项的方程 311
8-14. 含有多于两个导数二次项且有常系数的方程 313
15-21. 含有导数二次项的其它方程 315
22-31. 含有更高次导数的方程 318
第八章 多于三个自变量的非线性微分方程 322
第九章 非线性微分方程组 329
参考文献中采用的缩写 333
部分外国人姓氏中外文对照表 336
索引 337