一阶偏微分方程手册PDF电子书下载

第一部分 一般解法 1

第一章 线性与拟线性微分方程 1

1.引言 1

1.1. 一般概念.记号及术语 1

1.2. 解的性态预述 3

2.两个自变量的齐次线性方程：f(x,y)p+g(x,y)q=0 4

2.1. 几何解释 4

2.2. 关于积分和等高线的注记 5

2.3. 特征线与积分曲面 8

2.4. 利用特征线求方程的解 10

某些记号与缩写 11

2.5. 借助于特征方程的组合求解方程 11

2.6. 特殊情况：p+f(x,y)q=0 13

10.2. 一般存在定理.柯西特征方法 17

2.7. 函数相关性和雅可比行列式(附录) 18

2.8. 主积分.存在定理.柯西问题 24

2.9. 关于利用级数展开的注记 26

2.10. 解法概述 27

3. 一般的n个自变量的齐次线性方程：？fv(r)pv=0 27

3.1. 定义和注记 27

3.2. 特征线与积分曲面 28

3.3. 借助于特征方程的组合求解方程 29

3.4. 积分的基本组.柯西问题 30

3.5. 特积分已知时方程的简化 32

3.6. 特殊情况：p+？fv(x,y)qv=0 35

3.7. 积分的存在.柯西问题的解 39

3.8. 雅可比乘子 40

3.9. 其它注记 43

3.10. 解法概述 43

4.2. 化一般线性方程为齐次线性方程 44

4.1. 定义 44

4. 一般线性方程：？fv(r)pv+fo(r)z=f(r) 44

4.3. 存在性与唯一性定理 46

4.4. 哈尔不等式 47

4.5. n=2的情况(补充定理) 48

5.1. 几何解释 50

5. 拟线性方程：？fv(r,z)pv=g(r,z) 50

5.2. 特征线与积分曲面 51

5.3. 利用积分曲面的几何特性求解微分方程的例子 52

5.4. 化拟线性方程为齐次线性方程 56

5.5. 特殊情况：p+？fv(x,y,z)qv=g(x,y,z) 58

5.6. 柯西问题的解 61

5.7. 展成幂级数求解 63

5.8. 解法概述 63

6. 线性方程组 64

6.1. 特殊情况：pv=fv(r),(v=1,…,n) 64

6.2. 一般线性方程组：定义和记号 65

6.3. 对合组与完全组 68

6.4. 解雅可比组的梅耶方法 70

6.5. 完全组的性质 72

6.6. 齐次组 73

6.7. 齐次组的简化 76

6.8. 一般方程组的简化 81

6.9. 解法概述 82

7. 拟线性方程组 83

7.1. 特殊情况 83

7.2. 一般拟线性方程组 85

8.1. 方程的几何解释 87

8. 一般概念、记号及术语 87

第二章 两个自变量的非线性微分方程 87

8.2. 特征(条)的几何解释 89

8.3. 条形的定义 91

8.4. 特征方程组的导出 91

8.5. 推导特征方程组的其它方法 93

8.6. 正常面元素.奇异面元素 97

8.7. 特征条.积分条与积分曲面 98

8.8. 特积分.奇积分.全积分.通积分 99

9. 拉格朗日方法 101

9.1. 首次积分 101

9.2. 由两个非显见的首次积分求全积分 104

9.3. 由一个非显见的首次积分求全积分 107

9.4. 由两个非显见的首次积分求单参数积分族 109

9.5. 由一个全积分求其它积分 110

9.6. 通过已给定的初始条形的积分曲面(柯西问题) 112

10. 存在定理和某些其它解法 115

10.1. 正规柯西问题 115

10.3. 特殊情况：p=f(x,y,z,q) 119

10.4. 解析函数情况下用幂级数求解 121

10.5. 用更一般的级数求解 122

10.6. 不等式与估值 126

10.7. 解法概述 126

11.2. F(v,q)=0 127

11. 两个自变量的特殊形状的非线性方程的解法 127

11.1. F(x,y,z,p)=0或F(x,y,z,q)=0 127

11.3. F(z,p,q)=0 129

11.4. p=f(x,q)或q=g(y,p) 130

11.5. f(x,p)=g(y,q)与F［f(x,pψ(z)),g(y,qψ(z))］=0 130

11.6. f(x,p)+g(y,q)=z 130

11.7. p=f(？,q),F(？,p,q,xp+yq-z)=0 131

11.8. F(xp+yq,z,p,q)=0 131

11.9. p2+q2=f(x2+y2,yp-xq) 131

11.10. F［f(x)p,g(y)q,z］=0 132

11.11. f(p,q)=xp+yq；f关于p及q是齐次的 133

11.12. z=xp+yq+f(p,q)与F(p,q,z-xp-yq)=0.克莱罗方程 134

11.13. F(x,y,p,q)=0 136

11.14. F(x,y,z,p,q)=0.勒让德变换 137

11.15. F(x,y,z,p,q)=0.欧拉变换 138

11.16. F(xp-z,y,p,q)=0 139

11.17. xf(y,p,xp-z)+qg(y,p,xp-z)=h(y,p,xp-z) 139

11.18 qf(u)=xp-yq,xqf(u)=xp-yq,xf(u,p,q)+yg(u,p,q)=h(u,p,q),其中u=xp+yq-z 140

第三章 n个自变量的非线性微分方程与方程组 141

12.n个自变量的非线性方程：F(r,z,p)=0 141

12.1. 一般概念.记号及术语 141

12.2. 特征条形与积分曲面 143

12.3. 化方程为仅含有未知函数的导数的方程 145

12.4. 在解析函数情况下用幂级数求解 147

12.5. 一般存在定理.柯西特征方法 147

12.6. 显式微分方程的解的存在性与唯一性定理.存在区域的估计 150

12.7. 全积分的存在定理.由全积分求其它的积分 152

12.8. 雅可比解法 155

12.9. 特殊情况：p=f(x,y,q) 156

12.10. 在力学中的应用 158

12.11. 不等式与估计 161

13. n个自变量的特殊形状的非线性方程的解法 162

13.1. F(p)=0 162

13.3. F［f1(x1,p1ψ(z)),…，fn(xn,pnψ(z))］=0.可分离变量方程 163

13.2. F(z,p)=0 163

13.4. 齐次方程 164

13.5. F(r,z,p)=0.勒让德变换 165

13.6. ？pvfv=？xvfv-fn+1,其中1≤k≤n,fv=fv(x1，…，xk-1,pk,…，pn,？xvpv-z) 166

13.7. z=x1p1+…+xnpn+f(p1，…，pn).克莱罗方程 167

14. 非线性方程组 167

14.1. 显式方程组.可积性条件 167

14.2. 解析函数范围内雅可比组的解的存在与唯一性定理 168

14.3. 雅可比组在实函数范围内的解的存在与唯一性定理.用梅耶变换化雅可比组为一个方程 168

14.4. 雅可比括号.泊松括号 171

14.5. 一般非线性方程组 172

14.6. 对合组与完全组 173

14.7. 不依赖于z的对合组的雅可比解法 174

14.8. 勒让德变换的应用 177

14.9. 一般方程组的雅可比解法 179

第二部分 各种微分方程 183

引言 183

第一章 仅含一个偏导数的微分方程 185

第二章 两个自变量的线性与拟线性微分方程 187

1-12. f(x,y)p+g(x,y)q=0 187

13-19. f(x,y)p+g(x,y)q=h(x,y) 192

20-31. f(x,y)p+g(x,y)q=h1(x,y)z+ho(x,y) 194

32-43. f(x,y)p+g(x,y)q=h(x,y,z) 198

44-59. f(x,y,z)p+g(x,y,z)q=h(x,y,z),函数f,g关于z是线性的 203

60-65. f(x,y,x)p+g(x,y,z)q=h(x,y,z),函数f,g关于z不高于二次 209

66-71. 其它拟线性方程 210

第三章 三个自变量的线性与拟线性微分方程 213

1-19. f(x,y,z)wx+g(x,y,z)w,+h(x,y,z)wz=0,函数f,g,h的次数不超过1 213

1-6. 单项系数 213

7-11. 二项系数 214

12-19. 三项系数 215

20-41. f(x,y,z)wx+g(x,y,z)wy+h(x,y,z)wz=0，函数f,g,h的次数不超过2 220

20-27. 单项系数 220

28-38. 二项系数 221

42-59. f(x,y,z)wx+g(x,y,z)wy+h(x,y,z)wz=0,其它情况 223

39-41. 三项系数 223

60-64. 一般线性与拟线性微分方程 230

第四章 四个和更多个自变量的线性与拟线性微分方程 233

第五章 线性与拟线性微分方程组 240

1-2. 两个自变量 240

3-9. 三个自变量 241

10-17. 四个自变量，两个方程 244

18-23. 四个自变量，三个方程 247

24-29. 五个自变量，两个方程 250

30-32. 五个自变量，三个或四个方程 254

33-36. 其它方程组 255

1-13. ap2+… 259

第六章 两个自变量的非线性微分方程 259

14-20. f(x,y,z)p2+… 262

21-33. apq+… 265

34-42. f(x,y)pq+… 269

43-48. f(z)pq+… 276

49-54. (··)p2+(··)pq+… 277

55-68. ap2+bq2=f(x,y),f(x,y,z) 279

69-74. f(x,y)p2+g(x,y)q2+h(x,y,z) 284

75-80. f(x,y,z)p2+g(x,y,z)q2=h(x,y,z) 289

81-88. (··)p2+(··)q2+(··)p+(··)q+ 291

89-111. (··)p2+(··)q2+(··)pq+… 294

112-127. 关于p,q为三次与四次的方程 304

128-139. 其它非线性方程 307

第七章 三个自变量的非线性微分方程 311

1-7. 含有一个或两个导数二次项的方程 311

8-14. 含有多于两个导数二次项且有常系数的方程 313

15-21. 含有导数二次项的其它方程 315

22-31. 含有更高次导数的方程 318

第八章 多于三个自变量的非线性微分方程 322

第九章 非线性微分方程组 329

参考文献中采用的缩写 333

部分外国人姓氏中外文对照表 336

索引 337