第一章 萌芽 1
1.1 什么是拓扑学 1
1.2 Descartes与Euler定理 2
1.3 Leibniz与位置分析 4
1.4 Euler的贡献 4
1.5 Gauss的影响 6
1.6 Listing与M？bius的贡献 7
1.7 Riemann的贡献 8
1.8 Betti的贡献 9
1.9 四色问题 10
1.10 Jordan曲线定理 11
第二章 Poincaré时期 12
2.1 Poincaré的第一篇长文 12
2.2 Heegaard的批评与Poincaré的几篇补充 20
第三章 Brouwer与组合拓扑学 25
3.1 映射度 26
3.2 维数不变性 28
3.3 区域不变性 30
3.4 Jordan曲线定理的推广 31
3.5 不分割定理 34
3.6 维数概念 36
3.7 不动点定理 38
第四章 同调的不变性和对偶定理 40
4.1 组合的同调概念 40
4.2 不变性的证明 46
4.3 流形上的对偶定理和相交 50
第五章 组合同调的进一步发展 56
5.1 群在同调论中的出现 56
5.2 奇异同调论 57
5.3 ？ech同调 58
5.4 de Rham定理 59
5.5 上同调概念 62
5.6 乘积运算 64
第六章 同调代数的诞生 67
6.1 正合序列的出现 67
6.2 函子？和Tor 70
6.3 函子Hom和Ext 73
6.4 Künneth公式 74
6.5 范畴与函子 75
6.6 链伦移与链等价 76
6.7 零调模型 77
6.8 叉积与斜积 78
第七章 同调的公理化 81
7.1 同调理论的公理系统 81
7.2 上同调理论的公理系统 83
7.3 广义同调和上同调 85
第八章 商空间及CW复形 87
8.1 商空间 87
8.2 塌缩 88
8.3 常用的一些构作 89
8.4 CW复形 91
第九章 同伦群与同伦论 93
9.1 基本群与复叠空间 93
9.2 基本群的计算和基本性质 98
9.3 Hopf的工作 101
9.4 同伦理论基本概念的产生 102
9.5 同伦群 105
9.6 Hurewicz同态和Hurewicz定理 107
9.7 J.H.C.White-head定理 108
9.8 Freudenthal双角锥定理 110
9.9 单同伦与Whitehead挠 111
9.10 Hopf-Hurewicz-Whitney分类定理 112
9.11 阻碍理论 113
第十章 微分拓扑学肇始 116
10.1 微分流形的实现 116
10.2 微分流形的实现（续）及Whitney绝招 118
10.3 C1流形的三角剖分 120
10.4 de Rham定理与Hodge定理 120
10.5 Morse理论 122
第十一章 纤维丛理论 124
11.1 切丛 124
11.2 纤维丛的定义 126
11.3 主丛的引入 128
11.4 诱导丛与截面 129
11.5 复叠同伦性质和纤维化 130
11.6 同伦正合序列 132
11.7 纤维丛的分类 133
11.8 分类空间的Milnor构作 134
11.9 Gysin序列和王宪钟序列 136
第十二章 示性类理论 137
12.1 向量场的奇点 137
12.2 Stiefel类 139
12.3 Whitney类 140
12.4 Pontrjagin类和Euler类 143
12.5 陈省身类 145
12.6 进一步的重要结果 146
第十三章 束论 152
13.1 Leray的介入 152
13.2 Leray 1945年讲义中的顶盖 153
13.3 Leray 1950年讲义中的顶盖和束 154
13.4 H.Cartan讨论班1948—1951和Hirzebruch书中的束论 157
13.5 Godement书中的Grothendieck的束论 159
13.6 束的上同调（Hirzebruch讲法） 161
13.7 束的上同调（Godement讲法） 162
13.8 束的？ech上同调 163
13.9 一个注记 164
第十四章 谱序列 166
14.1 Leray 1946年的构作 167
14.2 Leray 1947年的构作 168
14.3 Serre对奇异同调建立谱序列 172
14.4 超度 173
14.5 Massey的正合偶 174
14.6 Lie群的同调 175
第十五章 上同调运算 177
15.1 上积与到球面的映射 177
15.2 Steenrod平方 179
15.3 Steenrod约化乘幂 181
15.4 Pon-trjagin乘幂 183
第十六章 Eilenberg-MacLane空间和Postnikov塔 185
16.1 二维同调群 186
16.2 非球面空间与群的同调 187
16.3 Eilenberg-MacLane空间 187
16.4 Postnikov塔 188
第十七章 协边理论 192
17.1 Pontrjagin的标架协边 193
17.2 协边概念和Rohlin的结果 194
17.3 协边的不变性 196
17.4 Thom横截性定理 196
17.5 Thom空间 197
17.6 映射的同伦与流形的协边 198
17.7 环？＊的决定 199
17.8 环Ω＊的决定 199
17.9 用流形实现同调类 200
第十八章 号差定理 203
18.1 Rohlin的结果 203
18.2 乘法序列 204
18.3 K亏格 206
18.4 号差定理 206
第十九章 怪球面和有关微分结构的研究 209
19.1 怪球面的构作 210
19.2 怪球面同胚于S7 210
19.3 怪球面不微分同胚于S7 211
19.4 进一步发展简介 212
第二十章 Morse理论的新应用 215
20.1 Bott周期性定理 215
20.2 广义Poincaré猜测的解决和h协边定理 219
第二十一章 K理论 224
21.1 Riemann-Roch定理的推广 224
21.2 K理论简介 226
21.3 Bott周期性定理 229
21.4 代数K理论 230
第二十二章 换球术 231
22.1 换球术的出现 232
22.2 同伦球面群 234
22.3 流形的同伦类定理 235
第二十三章 拓扑流形问题 238
23.1 拓扑流形问题 238
23.2 微观丛和Pon-trjagin类不是拓扑不变的 242
23.3 组合流形的光滑化及协合分类 244
23.4 三角剖分与主猜测 247
第二十四章 纽结理论 249
24.1 19世纪末的情形 250
24.2 一些基本概念 250
24.3 再一些基本概念 256
24.4 纽结群和Wirtinger表出 261
24.5 辫子和辫群 263
24.6 Dehn手术和分支复叠 266
24.7 Alexander多项式 270
24.8 Conway的改进和拆接理论 272
24.9 Jones多项式 274
24.10 Kontsevich的新工作 276
第二十五章 三维流形 278
25.1 Poincaré猜测 278
25.2 透镜空间 281
25.3 Dehn引理，环路定理和球面定理 283
25.4 Seifert流形 284
25.5 连通和分解 286
25.6 Haken流形 287
25.7 Thurston的突破 289
第二十六章 四维流形 291
26.1 前期重要成就和问题 292
26.2 用球面表示二维同调类及Whitney绝招的失败 295
26.3 Casson环柄 296
26.4 Freedman的突破 299
26.5 Don-aldson的突破 301
26.6 怪异R4的存在性 305
26.7 规范理论的新发展及其应用 308
附录 Fields奖得主中的拓扑学家 310
参考文献 311
索引 388
人名索引 388
术语索引 401