第一章 集合与函数 1
第一节 集合 1
一、逻辑量词和符号 1
二、集合的概念 1
三、集合的运算 3
习题1-1 6
第二节 映射 6
一、映射的概念 6
二、映射的运算 9
三、集合的有限与无限 12
习题1-2 15
一、函数的概念 16
第三节 函数 16
二、函数的代数运算 17
三、反函数 18
四、初等函数 18
五、函数的基本特性 23
六、双曲函数 25
习题1-3 29
第二章 极限与连续 32
第一节 数列的极限 32
一、数列极限的定义 32
二、数列极限的性质 34
三、收敛准则 36
一、当x→∞时，f(x)的极限 38
习题2-1 38
第二节 函数的极限 38
二、当x→x0时，f(x)的极限 40
三、函数极限的性质 42
习题2-2 43
第三节 无穷大量与无穷小量 43
一、无穷大量 43
二、无穷小量 45
三、无穷小量与无穷大量的关系 45
四、无穷小量的运算定理 46
习题2-3 48
一、极限的四则运算法则 49
第四节 极限的运算法则 49
二、复合函数的极限 52
习题2-4 53
第五节 夹逼定理、两个重要极限 54
一、夹逼定理 54
二、重要极限？＝1 55
三、重要极限？(1+？)x＝e 57
习题2-5 59
第六节 无穷小量的比较 60
习题2-6 62
第七节 函数的连续性 63
一、函数的连续性 63
二、连续函数的基本性质 66
三、初等函数的连续性 69
四、函数的间断点 69
习题2-7 72
第八节 闭区间上连续函数的性质 73
习题2-8 75
第九节 常数项级数的概念和性质 75
一、基本概念 75
二、级数的性质 78
习题2-9 80
第十节 常数项级数敛散性判别法 81
一、正项级数敛散性的判别法 81
二、交错级数及其敛散性判别法 85
三、绝对收敛与条件收敛 87
习题2-10 88
第三章 一元函数的导数和微分 90
第一节 导数的概念 90
一、导数概念的引入 90
二、导数的定义 92
三、导数的几何意义 96
四、可导与连续的关系 98
习题3-1 98
第二节 求导法则 99
一、函数四则运算的求导法则 99
二、复合函数的求导法则(链导法则) 102
三、反函数求导法则 105
四、基本导数公式表 106
五、隐函数求导法则 107
六、参数方程求导法则 109
七、取对数求导法 110
习题3-2 111
第三节 高阶导数 113
习题3-3 117
第四节 微分与差分 118
一、微分的概念 118
二、微分与导数的关系 119
三、微分的几何意义 121
五、高阶微分 122
四、微分的运算公式 122
六、近似求导法 124
习题3-4 125
第五节 微分中值定理 126
一、罗尔中值定理 126
二、拉格朗日中值定理 129
三、柯西中值定理 132
四、泰勒中值定理 133
习题3-5 139
第六节 幂级数 140
一、函数项级数 140
二、幂级数及其收敛性 141
三、函数展开成幂级数 149
习题3-6 156
第四章 一元微分学的应用 158
第一节 函数的单调性和曲线的凹凸性 158
一、函数的单调性 158
二、曲线的凹凸性 160
习题4-1 164
第二节 函数的极值和最值 165
一、函数的极值 165
二、函数的最值 169
习题4-2 172
第三节 函数图形的描绘 173
一、渐近线 174
二、函数图形的描绘 175
习题4-3 179
第四节 罗必达法则 179
一、？型不定式 180
二、？型不定式 181
习题4-4 184
第五节 相关变化率、弧微分、曲率 185
一、相关变化率 185
二、弧微分 187
三、曲率 189
习题4-5 193
第一节 定积分的概念和性质 195
一、定积分的概念 195
第五章 一元函数的积分 195
二、定积分的存在性 198
三、定积分的性质 200
习题5-1 206
第二节 一元微积分的基本定理 207
一、原函数与积分上限函数 207
二、微积分的基本公式 211
习题5-2 212
第三节 原函数的求法和积分表 213
一、不定积分的概念及性质 213
二、求不定积分的方法 216
习题5-3 233
一、换元法 235
第四节 定积分的计算 235
二、分部积分法 238
三、逐项积分法 240
习题5-4 241
第五节 广义积分 242
一、无穷积分 243
二、瑕积分 246
三、广义积分的收敛原理 250
四、广义积分的柯西主值 252
习题5-5 253
第六章 定积分的应用 254
第一节 建立定积分数学模型的微元法 254
一、直角坐标情形 256
第二节 平面图形的面积 256
二、极坐标情形 260
习题6-2 261
第三节 平面曲线的弧长 262
习题6-3 267
第四节 立体体积和旋转体侧面积 268
一、平行截面面积为已知的立体体积 268
二、旋转体的体积 270
三、旋转体的侧面积 271
习题6-4 273
第五节 其它方面的应用 274
一、变力作功 274
二、液体静压力 276
三、连续函数的平均值 278
习题6-5 281
第七章 常微分方程 283
第一节 微分方程的一般概念 283
一、什么是常微分方程 283
二、常微分方程的解 284
习题7-1 287
第二节 一阶微分方程 287
一、变量可分离方程 287
二、齐次方程 289
三、可化为齐次方程的方程 292
四、一阶线性微分方程 294
五、贝努利方程 297
习题7-2 298
第三节 可降阶的高阶微分方程 300
一、y(n)＝f(x)型的微分方程 300
二、y″＝f(x，y′)型的微分方程 301
三、y″＝f(y，y′)型的微分方程 303
习题7-3 305
第四节 高阶线性微分方程 306
一、线性微分方程解的结构 306
二、常系数齐次线性微分方程 312
三、常系数非齐次线性微分方程 315
四、欧拉方程 321
习题7-4 322
一、微分方程的幂级数解法 324
第五节 幂级数解法与常系数线性微分方程组 324
二、常系数线性微分方程组解法举例 328
习题7-5 331
第六节 微分方程的差分方法 332
一、初值问题数值解的基本概念 332
二、线性差分方程 333
三、欧拉方法 334
四、欧拉方法的变形和改进 336
五、尤格-库塔方法 339
习题7-6 341
附录 积分表 343
习题答案 355