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第一章 集合与函数 1

第一节 集合 1

一、逻辑量词和符号 1

二、集合的概念 1

三、集合的运算 3

习题1-1 6

第二节 映射 6

一、映射的概念 6

二、映射的运算 9

三、集合的有限与无限 12

习题1-2 15

一、函数的概念 16

第三节 函数 16

二、函数的代数运算 17

三、反函数 18

四、初等函数 18

五、函数的基本特性 23

六、双曲函数 25

习题1-3 29

第二章 极限与连续 32

第一节 数列的极限 32

一、数列极限的定义 32

二、数列极限的性质 34

三、收敛准则 36

一、当x→∞时，f(x)的极限 38

习题2-1 38

第二节 函数的极限 38

二、当x→x0时，f(x)的极限 40

三、函数极限的性质 42

习题2-2 43

第三节 无穷大量与无穷小量 43

一、无穷大量 43

二、无穷小量 45

三、无穷小量与无穷大量的关系 45

四、无穷小量的运算定理 46

习题2-3 48

一、极限的四则运算法则 49

第四节 极限的运算法则 49

二、复合函数的极限 52

习题2-4 53

第五节 夹逼定理、两个重要极限 54

一、夹逼定理 54

二、重要极限？＝1 55

三、重要极限？(1+？)x＝e 57

习题2-5 59

第六节 无穷小量的比较 60

习题2-6 62

第七节 函数的连续性 63

一、函数的连续性 63

二、连续函数的基本性质 66

三、初等函数的连续性 69

四、函数的间断点 69

习题2-7 72

第八节 闭区间上连续函数的性质 73

习题2-8 75

第九节 常数项级数的概念和性质 75

一、基本概念 75

二、级数的性质 78

习题2-9 80

第十节 常数项级数敛散性判别法 81

一、正项级数敛散性的判别法 81

二、交错级数及其敛散性判别法 85

三、绝对收敛与条件收敛 87

习题2-10 88

第三章 一元函数的导数和微分 90

第一节 导数的概念 90

一、导数概念的引入 90

二、导数的定义 92

三、导数的几何意义 96

四、可导与连续的关系 98

习题3-1 98

第二节 求导法则 99

一、函数四则运算的求导法则 99

二、复合函数的求导法则(链导法则) 102

三、反函数求导法则 105

四、基本导数公式表 106

五、隐函数求导法则 107

六、参数方程求导法则 109

七、取对数求导法 110

习题3-2 111

第三节 高阶导数 113

习题3-3 117

第四节 微分与差分 118

一、微分的概念 118

二、微分与导数的关系 119

三、微分的几何意义 121

五、高阶微分 122

四、微分的运算公式 122

六、近似求导法 124

习题3-4 125

第五节 微分中值定理 126

一、罗尔中值定理 126

二、拉格朗日中值定理 129

三、柯西中值定理 132

四、泰勒中值定理 133

习题3-5 139

第六节 幂级数 140

一、函数项级数 140

二、幂级数及其收敛性 141

三、函数展开成幂级数 149

习题3-6 156

第四章 一元微分学的应用 158

第一节 函数的单调性和曲线的凹凸性 158

一、函数的单调性 158

二、曲线的凹凸性 160

习题4-1 164

第二节 函数的极值和最值 165

一、函数的极值 165

二、函数的最值 169

习题4-2 172

第三节 函数图形的描绘 173

一、渐近线 174

二、函数图形的描绘 175

习题4-3 179

第四节 罗必达法则 179

一、？型不定式 180

二、？型不定式 181

习题4-4 184

第五节 相关变化率、弧微分、曲率 185

一、相关变化率 185

二、弧微分 187

三、曲率 189

习题4-5 193

第一节 定积分的概念和性质 195

一、定积分的概念 195

第五章 一元函数的积分 195

二、定积分的存在性 198

三、定积分的性质 200

习题5-1 206

第二节 一元微积分的基本定理 207

一、原函数与积分上限函数 207

二、微积分的基本公式 211

习题5-2 212

第三节 原函数的求法和积分表 213

一、不定积分的概念及性质 213

二、求不定积分的方法 216

习题5-3 233

一、换元法 235

第四节 定积分的计算 235

二、分部积分法 238

三、逐项积分法 240

习题5-4 241

第五节 广义积分 242

一、无穷积分 243

二、瑕积分 246

三、广义积分的收敛原理 250

四、广义积分的柯西主值 252

习题5-5 253

第六章 定积分的应用 254

第一节 建立定积分数学模型的微元法 254

一、直角坐标情形 256

第二节 平面图形的面积 256

二、极坐标情形 260

习题6-2 261

第三节 平面曲线的弧长 262

习题6-3 267

第四节 立体体积和旋转体侧面积 268

一、平行截面面积为已知的立体体积 268

二、旋转体的体积 270

三、旋转体的侧面积 271

习题6-4 273

第五节 其它方面的应用 274

一、变力作功 274

二、液体静压力 276

三、连续函数的平均值 278

习题6-5 281

第七章 常微分方程 283

第一节 微分方程的一般概念 283

一、什么是常微分方程 283

二、常微分方程的解 284

习题7-1 287

第二节 一阶微分方程 287

一、变量可分离方程 287

二、齐次方程 289

三、可化为齐次方程的方程 292

四、一阶线性微分方程 294

五、贝努利方程 297

习题7-2 298

第三节 可降阶的高阶微分方程 300

一、y(n)＝f(x)型的微分方程 300

二、y″＝f(x，y′)型的微分方程 301

三、y″＝f(y，y′)型的微分方程 303

习题7-3 305

第四节 高阶线性微分方程 306

一、线性微分方程解的结构 306

二、常系数齐次线性微分方程 312

三、常系数非齐次线性微分方程 315

四、欧拉方程 321

习题7-4 322

一、微分方程的幂级数解法 324

第五节 幂级数解法与常系数线性微分方程组 324

二、常系数线性微分方程组解法举例 328

习题7-5 331

第六节 微分方程的差分方法 332

一、初值问题数值解的基本概念 332

二、线性差分方程 333

三、欧拉方法 334

四、欧拉方法的变形和改进 336

五、尤格-库塔方法 339

习题7-6 341

附录 积分表 343

习题答案 355