第五章 向量代数与空间解析几何 1
第一节 向量及其线性运算 2
一、空间直角坐标系 2
二、向量与向量的表示 4
三、向量的加法与数乘运算 8
习题5-1 12
第二节 向量的乘法运算 13
一、向量的数量积(点积、内积) 13
二、向量的向量积(叉积、外积) 16
三、向量的混合积 20
习题5-2 22
第三节 平面与直线 22
一、平面 23
二、直线 27
习题5-3 33
第四节 曲面 34
一、柱面与旋转曲面 35
二、二次曲面 39
一、空间曲线及其方程 45
习题5-4 45
第五节 曲线 45
二、空间曲线在坐标面上的投影 47
习题5-5 49
总习题五 50
第六章 多元函数微分学 53
第一节 多元函数的基本概念 54
一、多元函数 54
二、Rn中的线性运算、距离及重要子集类 56
三、多元函数的极限 60
四、多元函数的连续性 61
习题6-1 62
第二节 偏导数 63
一、偏导数 63
二、高阶偏导数 67
习题6-2 69
第三节 全微分 70
一、全微分 70
二、线性函数 75
第四节 复合函数的求导法则 77
习题6-3 77
习题6-4 84
第五节 隐函数的求导公式 85
一、一个方程的情形 85
二、方程组的情形 89
习题6-5 93
第六节 方向导数与梯度 94
一、方向导数 94
二、梯度 98
习题6-6 102
第七节 多元函数微分学的几何应用 103
一、空间曲线的切线与法平面 103
二、空间曲面的切平面与法线 108
三、梯度在场论中的意义 112
习题6-7 114
第八节 多元函数的极值 115
一、极大、极小值与最大、最小值 115
二、条件极值 121
习题6-8 126
总习题六 127
第七章 重积分 130
第一节 重积分的概念与性质 131
一、重积分的概念 131
二、重积分的性质 135
习题7-1 137
第二节 二重积分的计算 138
一、利用直角坐标计算二重积分 138
习题7-2(1) 144
二、利用极坐标计算二重积分 145
习题7-2(2) 151
三、二重积分的换元法 152
习题7-2(3) 156
第三节 三重积分的计算 157
一、利用直角坐标计算三重积分 157
二、利用柱面坐标计算三重积分 161
三、利用球面坐标计算三重积分 163
习题7-3 165
第四节 重积分应用举例 167
一、曲面的面积 167
二、重心和转动惯量 170
三、引力 173
习题7-4 175
总习题七 176
第八章 曲线积分与曲面积分 178
第一节 数量值函数的曲线积分(第一类曲线积分) 179
一、第一类曲线积分的概念 179
二、第一类曲线积分的计算法 181
习题8-1 186
第二节 数量值函数的曲面积分(第一类曲面积分) 187
一、第一类曲面积分的概念 187
二、第一类曲面积分的计算法 189
三、数量值函数在几何形体上的积分及其物理应用综述 193
习题8-2 196
第三节 向量值函数在定向曲线上的积分(第二类曲线积分) 197
一、第二类曲线积分的概念 197
二、第二类曲线积分的计算法 201
习题8-3 206
第四节 格林公式 208
一、格林公式 208
二、平面曲线积分与路径无关的条件 213
三、曲线积分基本定理 219
习题8-4 220
第五节 向量值函数在定向曲面上的积分(第二类曲面积分) 221
一、第二类曲面积分的概念 221
二、第二类曲面积分的计算法 226
习题8-5 233
第六节 高斯公式与散度 234
一、高斯公式 234
二、散度 237
习题8-6 238
一、斯托克斯公式 239
第七节 斯托克斯公式与旋度 239
二、旋度 243
三、向量微分算子 246
习题8-7 247
总习题八 249
第九章 无穷级数 252
第一节 常数项级数的概念与基本性质 254
一、基本概念 254
二、无穷级数的基本性质 256
习题9-1 259
第二节 正项级数及其审敛法 259
习题9-2 267
一、交错级数及其审敛法 268
第三节 绝对收敛与条件收敛 268
二、级数的绝对收敛与条件收敛 270
习题9-3 276
第四节 幂级数 276
一、幂级数及其收敛性 277
二、幂级数的运算与性质 283
习题9-4 286
一、泰勒级数的概念 287
第五节 函数的泰勒级数 287
二、函数展开成幂级数的方法 290
三、欧拉公式 298
习题9-5 299
第六节 函数的幂级数展开式的应用 300
一、函数值的近似计算 300
二、积分的近似计算 303
三、微分方程的幂级数解法 304
习题9-6 306
一、问题的提出 307
第七节 傅里叶多项式 307
二、三角正交系与最佳均方逼近 309
习题9-7 320
第八节 傅里叶级数及其收敛性质 321
一、傅里叶级数的均方收敛性 321
二、傅里叶级数的逐点收敛问题 325
习题9-8 329
第九节 一般周期函数的傅里叶级数 330
一、周期为2l的周期函数的傅里叶逼近 330
二、正弦级数与余弦级数 332
习题9-9 336
总习题九 337
实验 341
实验1 空间立体图形的绘制 341
实验2 鲨鱼袭击目标的前进途径 346
实验3 多元函数极值与一元函数极值的比较 353
实验4 重积分的计算 357
实验5 无穷级数与函数逼近 360
实验6 最小二乘法 365
附录 矩阵与行列式简介 370
习题答案与提示 375