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第五章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 向量及其线性运算 2

一、空间直角坐标系 2

二、向量与向量的表示 4

三、向量的加法与数乘运算 8

习题5-1 12

第二节 向量的乘法运算 13

一、向量的数量积(点积、内积) 13

二、向量的向量积(叉积、外积) 16

三、向量的混合积 20

习题5-2 22

第三节 平面与直线 22

一、平面 23

二、直线 27

习题5-3 33

第四节 曲面 34

一、柱面与旋转曲面 35

二、二次曲面 39

一、空间曲线及其方程 45

习题5-4 45

第五节 曲线 45

二、空间曲线在坐标面上的投影 47

习题5-5 49

总习题五 50

第六章 多元函数微分学 53

第一节 多元函数的基本概念 54

一、多元函数 54

二、Rn中的线性运算、距离及重要子集类 56

三、多元函数的极限 60

四、多元函数的连续性 61

习题6-1 62

第二节 偏导数 63

一、偏导数 63

二、高阶偏导数 67

习题6-2 69

第三节 全微分 70

一、全微分 70

二、线性函数 75

第四节 复合函数的求导法则 77

习题6-3 77

习题6-4 84

第五节 隐函数的求导公式 85

一、一个方程的情形 85

二、方程组的情形 89

习题6-5 93

第六节 方向导数与梯度 94

一、方向导数 94

二、梯度 98

习题6-6 102

第七节 多元函数微分学的几何应用 103

一、空间曲线的切线与法平面 103

二、空间曲面的切平面与法线 108

三、梯度在场论中的意义 112

习题6-7 114

第八节 多元函数的极值 115

一、极大、极小值与最大、最小值 115

二、条件极值 121

习题6-8 126

总习题六 127

第七章 重积分 130

第一节 重积分的概念与性质 131

一、重积分的概念 131

二、重积分的性质 135

习题7-1 137

第二节 二重积分的计算 138

一、利用直角坐标计算二重积分 138

习题7-2(1) 144

二、利用极坐标计算二重积分 145

习题7-2(2) 151

三、二重积分的换元法 152

习题7-2(3) 156

第三节 三重积分的计算 157

一、利用直角坐标计算三重积分 157

二、利用柱面坐标计算三重积分 161

三、利用球面坐标计算三重积分 163

习题7-3 165

第四节 重积分应用举例 167

一、曲面的面积 167

二、重心和转动惯量 170

三、引力 173

习题7-4 175

总习题七 176

第八章 曲线积分与曲面积分 178

第一节 数量值函数的曲线积分(第一类曲线积分) 179

一、第一类曲线积分的概念 179

二、第一类曲线积分的计算法 181

习题8-1 186

第二节 数量值函数的曲面积分(第一类曲面积分) 187

一、第一类曲面积分的概念 187

二、第一类曲面积分的计算法 189

三、数量值函数在几何形体上的积分及其物理应用综述 193

习题8-2 196

第三节 向量值函数在定向曲线上的积分(第二类曲线积分) 197

一、第二类曲线积分的概念 197

二、第二类曲线积分的计算法 201

习题8-3 206

第四节 格林公式 208

一、格林公式 208

二、平面曲线积分与路径无关的条件 213

三、曲线积分基本定理 219

习题8-4 220

第五节 向量值函数在定向曲面上的积分(第二类曲面积分) 221

一、第二类曲面积分的概念 221

二、第二类曲面积分的计算法 226

习题8-5 233

第六节 高斯公式与散度 234

一、高斯公式 234

二、散度 237

习题8-6 238

一、斯托克斯公式 239

第七节 斯托克斯公式与旋度 239

二、旋度 243

三、向量微分算子 246

习题8-7 247

总习题八 249

第九章 无穷级数 252

第一节 常数项级数的概念与基本性质 254

一、基本概念 254

二、无穷级数的基本性质 256

习题9-1 259

第二节 正项级数及其审敛法 259

习题9-2 267

一、交错级数及其审敛法 268

第三节 绝对收敛与条件收敛 268

二、级数的绝对收敛与条件收敛 270

习题9-3 276

第四节 幂级数 276

一、幂级数及其收敛性 277

二、幂级数的运算与性质 283

习题9-4 286

一、泰勒级数的概念 287

第五节 函数的泰勒级数 287

二、函数展开成幂级数的方法 290

三、欧拉公式 298

习题9-5 299

第六节 函数的幂级数展开式的应用 300

一、函数值的近似计算 300

二、积分的近似计算 303

三、微分方程的幂级数解法 304

习题9-6 306

一、问题的提出 307

第七节 傅里叶多项式 307

二、三角正交系与最佳均方逼近 309

习题9-7 320

第八节 傅里叶级数及其收敛性质 321

一、傅里叶级数的均方收敛性 321

二、傅里叶级数的逐点收敛问题 325

习题9-8 329

第九节 一般周期函数的傅里叶级数 330

一、周期为2l的周期函数的傅里叶逼近 330

二、正弦级数与余弦级数 332

习题9-9 336

总习题九 337

实验 341

实验1 空间立体图形的绘制 341

实验2 鲨鱼袭击目标的前进途径 346

实验3 多元函数极值与一元函数极值的比较 353

实验4 重积分的计算 357

实验5 无穷级数与函数逼近 360

实验6 最小二乘法 365

附录 矩阵与行列式简介 370

习题答案与提示 375