第一章 方程的建立和定解问题 1
1 方程的建立和定解问题 1
1.1 弦的横振动 1
1.2 杆的纵振动 6
前言 7
1.3 热传导问题 11
1.4 定解问题小结 17
1.5 定解问题的适定性 19
2 一维无界弦振动的初值问题 行波概念 20
习题 27
第二章 用分离变量法求解混合问题 29
1 分离变量法举例 29
1.1 两端固定的有界弦的自由振动 29
1.2 两端自由的杆的纵振动 39
1.3 单簧管内的气柱振动 42
2 函数空间L2［a，b］中的函数依某一个完备正交组作广义傅氏展开 43
2.1 函数序列{Fm(x)}与函数f(x)的逼近和收剑于f(x)的不同尺度 43
2.2 定义了内积的函数空间L2［a，b］ 45
2.3 标准正交组和广义博氏级数 49
3.1 概念和定理 54
3 两种边界条件下的本征值问题 54
3.2 一维热传导方程的第三边值问题 57
3.3 亥姆霍兹方程的边值问题 61
4 非齐次方程解法--本征函数法 62
4.1 非齐次方程、齐次边界条件 62
4.2 非齐次边界条件的处理 66
4.3 在第一边值条件下弦振动解的唯一性 71
4.4 方程中含有未知函数线性项的定解问题 74
5 圆域内、外拉普拉斯方程的定解问题 77
5.1 圆内狄氏问题 77
5.2 圆外狄氏问题 85
5.3 圆内牛曼问题 91
5.4 圆外牛曼问题 95
5.5 关于三维空间拉普拉斯方程定解问题的附言 97
习题 97
第三章 求解亥姆霍兹方程边值问题的准备知识 102
1 柱、球坐标系中亥氏方程分离变量 102
1.1 柱坐标系中亥氏方程分离变量 102
1.2 球坐标系中亥氏方程分离变量 105
2.1 变系数方程的常点与解析解 110
2 变系数方程级数解的性质 110
2.2 变系数方程的寄点、正则奇点与正则解 113
2.3 变系数方程在无穷远点邻域内的解 118
3 S-L--斯特姆-刘维问题 121
3.1 S-L问题及其方程的一般形式 121
3.2 S-L问题的自共轭概念和定理 123
3.3 有限区间(a，b)上S-L问题的自共轭性 126
习题 130
1 贝塞尔方程求解 132
1.1 r函数 132
第四章 贝塞尔函数及其应用 132
1.2 求解贝塞尔方程 135
2 贝塞尔函数在(0，+∞)内的变化性态 144
2.1 J？(x)在(0，+∞)内的变化性态 145
2.2 Y？(x)在(0，+∞)内的变化性态 148
2.3 举例 149
3 贝塞尔函数的递推公式、半奇数贝塞尔函数 153
3.1 递推公式及其应用 153
3.2 半奇数贝塞尔函数的初等函数表示 155
3.3 ι阶球贝塞尔函数的定义式 158
4.1 区间［0，a］上的本征值问题 160
4 贝塞尔方程的本征值问题及其应用 160
4.2 应用问题举例 166
4.3 柱坐标系中高维问题的说明 176
4.4 ［a，b］上的本征值问题 177
5 第三类贝塞尔函数--汉克尔函数 180
5.1 贝塞尔方程复数形式的特解--第三类贝塞尔函数 180
5.2 应用举例 182
6 虚变量贝塞尔方程及其它变形贝塞尔方程 186
6.1 虚变量贝塞尔方程及虚变量贝塞尔函数 186
6.2 应用举例 191
6.3 开尔文方程及其它可化为贝塞尔方程的方程 195
7 J?(x)的生成公式及其应用 197
7.1 J?(x)的生成公式 197
7.2 生成公式的应用--把平面波展开为柱面波的叠加 200
8 含贝塞尔函数的积分举例 203
习题 206
第五章 勒让特函数、球贝塞尔函数及其应用 211
1 勒让特多项式Pι(x)或Pι(cosθ) 211
1.1 确定勒让特多项式的本征值问题 211
1.2 Pι(x)的微分表示式及{Pι(x)}(或{Pι(cosθ)})的完备正交性 219
2 Pι(x)的生成公式及其递推公式 223
2.1 Pι(x)(或Pι(cosθ))的生成公式 223
2.2 Pι(x)的递推公式、积分举例 227
3 应用问题举例 231
4 连带勒让特函数？(s)或？(cosθ) 239
4.1 确定连带勒让特函数的本征值问题 239
4.2 {？(x)}或{？(cosθ)}的完备正交性 243
5.1 球面函数 S？(θ，？) 244
5 球面函数S？(θ，？)及其应用 244
5.2 应用问题举例 250
5.3 P？(x)及S？(θ，？)的复数形式 251
5.4 球面函数的加法公式 253
6 球贝塞尔函数及其应用 256
6.1 ι阶球贝塞尔函数及其在(0，+∞)内的主要性态 256
6.2 ［0，a］上ι阶球贝塞尔方程的S-L问题 259
6.3 平面波展开为球面波 261
习题 265
1 傅氏积分变换 268
1.1 从傅氏级数到傅氏积分 268
第六章 积分变换 268
1.2 傅氏积分变换及其运算性质 273
1.3 用傅氏变换求解无界空间的初值问题 280
1.4 多重傅氏变换 282
1.5 零阶汉克尔变换 287
1.6 零阶球贝塞尔变换 295
2 拉氏变换 300
2.1 拉氏变换的定义和有关概念 300
2.2 拉氏变换的运算性质 305
2.3 应用举例 309
2.4 用逆变换积分求原象 313
习题 317
第七章 δ函数和格林函数 322
1 δ函数 322
1.1 δ函数的概念 322
1.2 δ函数的运算性质和积分变换 327
1.3 应用举例 332
1.4 多维空间中的δ函数 333
2 点源在无界空间中形成的场--基本解概念及其应用 343
2.1 算符“？2”在无界空间中的基本解 343
2.2 算符“？2+k2”(k2>0)在无界空间中的基本解 349
2.3 一维无界空间中热传导问题的基本解 352
2.4 一维无界空间中的波动方程 357
2.5 高维无界空间中的波动方程 368
3 在一定边界条件下，算符“？2”的格林函数 377
3.1 基本概念和基本公式 377
3.2 用镜象法求格林函数 385
3.3 在第二边值条件下，算符“？2”的广义格林函数 391
习题 396
第八章 变分方法 402
1 变分学基本定理 402
2 最简变分问题 404
3 函数与泛函 407
4 赋范线性空间 408
5 一阶变分及泛函可微性 412
6 Euler-Lagrange方程 415
7 举例 420
8 自然边界条件 423
9 带偏导数的变分问题 425
10 解变分问题的直接方法 428
习题 430
1.1 自变量线性代换后方程系数的变化 433
附录1 二阶线方程的化简与分类 433
1 二阶常系数线性方程 433
1.2 方程的化简与分类 437
1.3 通过函数代换化简方程的低阶项 440
2 变系数二阶线性方程的化简与分类 440
2.1 u=u(x，y)的二阶变系数线性方程 440
2.2 u=u(x1，…，x?)的二阶变系数线性方程 446
习题 447
1 S-L问题边界条件提法的一般说明 448
1.1 奇型端点邻域内解的平方可积性 448
附录Ⅱ 无穷区间上的S-L问题 448
1.2 边界条件的提法 453
2 在［0，+∞)上求解确定拉盖尔函数的S-L问题 455
2.1 引出确定拉盖尔函数和广义拉盖尔多项式的S-L问题 456
2.2 求解确定广义拉盖尔多项式的S-L问题 462
2.3 {L？(X)}R 完备正交性 465
2.4 拉盖尔函数 467
2.5 L？(x)的生成公式 468
附表 471
习题答案 481