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第一章 方程的建立和定解问题 1

1 方程的建立和定解问题 1

1.1 弦的横振动 1

1.2 杆的纵振动 6

前言 7

1.3 热传导问题 11

1.4 定解问题小结 17

1.5 定解问题的适定性 19

2 一维无界弦振动的初值问题 行波概念 20

习题 27

第二章 用分离变量法求解混合问题 29

1 分离变量法举例 29

1.1 两端固定的有界弦的自由振动 29

1.2 两端自由的杆的纵振动 39

1.3 单簧管内的气柱振动 42

2 函数空间L2［a，b］中的函数依某一个完备正交组作广义傅氏展开 43

2.1 函数序列{Fm(x)}与函数f(x)的逼近和收剑于f(x)的不同尺度 43

2.2 定义了内积的函数空间L2［a，b］ 45

2.3 标准正交组和广义博氏级数 49

3.1 概念和定理 54

3 两种边界条件下的本征值问题 54

3.2 一维热传导方程的第三边值问题 57

3.3 亥姆霍兹方程的边值问题 61

4 非齐次方程解法--本征函数法 62

4.1 非齐次方程、齐次边界条件 62

4.2 非齐次边界条件的处理 66

4.3 在第一边值条件下弦振动解的唯一性 71

4.4 方程中含有未知函数线性项的定解问题 74

5 圆域内、外拉普拉斯方程的定解问题 77

5.1 圆内狄氏问题 77

5.2 圆外狄氏问题 85

5.3 圆内牛曼问题 91

5.4 圆外牛曼问题 95

5.5 关于三维空间拉普拉斯方程定解问题的附言 97

习题 97

第三章 求解亥姆霍兹方程边值问题的准备知识 102

1 柱、球坐标系中亥氏方程分离变量 102

1.1 柱坐标系中亥氏方程分离变量 102

1.2 球坐标系中亥氏方程分离变量 105

2.1 变系数方程的常点与解析解 110

2 变系数方程级数解的性质 110

2.2 变系数方程的寄点、正则奇点与正则解 113

2.3 变系数方程在无穷远点邻域内的解 118

3 S-L--斯特姆-刘维问题 121

3.1 S-L问题及其方程的一般形式 121

3.2 S-L问题的自共轭概念和定理 123

3.3 有限区间(a，b)上S-L问题的自共轭性 126

习题 130

1 贝塞尔方程求解 132

1.1 r函数 132

第四章 贝塞尔函数及其应用 132

1.2 求解贝塞尔方程 135

2 贝塞尔函数在(0，+∞)内的变化性态 144

2.1 J？(x)在(0，+∞)内的变化性态 145

2.2 Y？(x)在(0，+∞)内的变化性态 148

2.3 举例 149

3 贝塞尔函数的递推公式、半奇数贝塞尔函数 153

3.1 递推公式及其应用 153

3.2 半奇数贝塞尔函数的初等函数表示 155

3.3 ι阶球贝塞尔函数的定义式 158

4.1 区间［0，a］上的本征值问题 160

4 贝塞尔方程的本征值问题及其应用 160

4.2 应用问题举例 166

4.3 柱坐标系中高维问题的说明 176

4.4 ［a，b］上的本征值问题 177

5 第三类贝塞尔函数--汉克尔函数 180

5.1 贝塞尔方程复数形式的特解--第三类贝塞尔函数 180

5.2 应用举例 182

6 虚变量贝塞尔方程及其它变形贝塞尔方程 186

6.1 虚变量贝塞尔方程及虚变量贝塞尔函数 186

6.2 应用举例 191

6.3 开尔文方程及其它可化为贝塞尔方程的方程 195

7 J?(x)的生成公式及其应用 197

7.1 J?(x)的生成公式 197

7.2 生成公式的应用--把平面波展开为柱面波的叠加 200

8 含贝塞尔函数的积分举例 203

习题 206

第五章 勒让特函数、球贝塞尔函数及其应用 211

1 勒让特多项式Pι(x)或Pι(cosθ) 211

1.1 确定勒让特多项式的本征值问题 211

1.2 Pι(x)的微分表示式及{Pι(x)}(或{Pι(cosθ)})的完备正交性 219

2 Pι(x)的生成公式及其递推公式 223

2.1 Pι(x)(或Pι(cosθ))的生成公式 223

2.2 Pι(x)的递推公式、积分举例 227

3 应用问题举例 231

4 连带勒让特函数？(s)或？(cosθ) 239

4.1 确定连带勒让特函数的本征值问题 239

4.2 {？(x)}或{？(cosθ)}的完备正交性 243

5.1 球面函数 S？(θ，？) 244

5 球面函数S？(θ，？)及其应用 244

5.2 应用问题举例 250

5.3 P？(x)及S？(θ，？)的复数形式 251

5.4 球面函数的加法公式 253

6 球贝塞尔函数及其应用 256

6.1 ι阶球贝塞尔函数及其在(0，+∞)内的主要性态 256

6.2 ［0，a］上ι阶球贝塞尔方程的S-L问题 259

6.3 平面波展开为球面波 261

习题 265

1 傅氏积分变换 268

1.1 从傅氏级数到傅氏积分 268

第六章 积分变换 268

1.2 傅氏积分变换及其运算性质 273

1.3 用傅氏变换求解无界空间的初值问题 280

1.4 多重傅氏变换 282

1.5 零阶汉克尔变换 287

1.6 零阶球贝塞尔变换 295

2 拉氏变换 300

2.1 拉氏变换的定义和有关概念 300

2.2 拉氏变换的运算性质 305

2.3 应用举例 309

2.4 用逆变换积分求原象 313

习题 317

第七章 δ函数和格林函数 322

1 δ函数 322

1.1 δ函数的概念 322

1.2 δ函数的运算性质和积分变换 327

1.3 应用举例 332

1.4 多维空间中的δ函数 333

2 点源在无界空间中形成的场--基本解概念及其应用 343

2.1 算符“？2”在无界空间中的基本解 343

2.2 算符“？2+k2”(k2>0)在无界空间中的基本解 349

2.3 一维无界空间中热传导问题的基本解 352

2.4 一维无界空间中的波动方程 357

2.5 高维无界空间中的波动方程 368

3 在一定边界条件下，算符“？2”的格林函数 377

3.1 基本概念和基本公式 377

3.2 用镜象法求格林函数 385

3.3 在第二边值条件下，算符“？2”的广义格林函数 391

习题 396

第八章 变分方法 402

1 变分学基本定理 402

2 最简变分问题 404

3 函数与泛函 407

4 赋范线性空间 408

5 一阶变分及泛函可微性 412

6 Euler-Lagrange方程 415

7 举例 420

8 自然边界条件 423

9 带偏导数的变分问题 425

10 解变分问题的直接方法 428

习题 430

1.1 自变量线性代换后方程系数的变化 433

附录1 二阶线方程的化简与分类 433

1 二阶常系数线性方程 433

1.2 方程的化简与分类 437

1.3 通过函数代换化简方程的低阶项 440

2 变系数二阶线性方程的化简与分类 440

2.1 u=u(x，y)的二阶变系数线性方程 440

2.2 u=u(x1，…，x?)的二阶变系数线性方程 446

习题 447

1 S-L问题边界条件提法的一般说明 448

1.1 奇型端点邻域内解的平方可积性 448

附录Ⅱ 无穷区间上的S-L问题 448

1.2 边界条件的提法 453

2 在［0，+∞)上求解确定拉盖尔函数的S-L问题 455

2.1 引出确定拉盖尔函数和广义拉盖尔多项式的S-L问题 456

2.2 求解确定广义拉盖尔多项式的S-L问题 462

2.3 {L？(X)}R 完备正交性 465

2.4 拉盖尔函数 467

2.5 L？(x)的生成公式 468

附表 471

习题答案 481