第一章 误差 1
1 误差的来源 1
2 绝对误差、相对误差和有效数字 1
2.1 绝对误差与相对误差 1
2.2 有效数字 3
3 数值计算中误差的传播 4
3.1 基本运算中的误差估计 4
3.2 算法的数值稳定性 5
4 数值计算中应注意的问题 7
习题一 10
第二章 解线性方程组的直接方法 11
1 高斯(Gauss)消去法 12
1.1 Gauss消去法 12
1.2 Gauss消去法的计算量 14
2 主元素法 14
2.1 列主元素法 15
2.2 金主元素法 16
3 自接三角解法 18
3.1 Gauss消去法的矩阵形式 18
3.2 矩阵的三角分解 20
3.3 直接三角分解法 23
3.4 解三对角方程组的追赶法 25
4.1 平方根法(cholesky分解法) 28
4 平方根法与改进的平方根法 28
4.2 改进的平方根法(LDLT法) 30
5 误差分析 31
5.1 向量和矩阵的范数 31
5.2 方程组的状态与条件数 36
5.3 误差分析 39
6 超定线性方程组的最小二乘解 40
习题二 43
1.1 迭代法的一般形式 46
1.2 向量序列与矩阵序列的收敛性 46
1 迭代法概述 46
第三章 解线性方程组的迭代法 46
2 雅可比(Jocobi)迭代法 47
3 高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法 49
4 松弛法 52
5 迭代法的收敛条件 54
5.1 矩阵的谱半径 54
5.2 迭代法的收敛条件 55
5.3 误差估计 59
6.2 共轭梯度法 61
6 最速下降法与共轭梯度法 61
6.1 最速下降法 61
习题三 63
第四章 矩阵特征值与特征向量的计算 66
1 幂法和反幂法 66
1.1 幂法 66
1.2 幂法的加速 69
1.3 反幂法 72
2 Jacobi方法 73
2.1 矩阵的旋转变换 74
2.2 Jacobi方法 75
3 OR算法 77
3.1 基本QR方法 77
3.2 豪斯豪尔德(Householder)变换 79
3.3 化一般矩阵为拟上三角阵 80
3.4 拟上三角阵的QR分解 83
3.5 带原点移位的QR方法 86
习题四 87
第五章 插值法 89
1 拉格朗日(Lagrange)插值 89
1.1 多项式插值 89
1.2 插值多项式的语差估计 90
1.3 Lagrange插值多项式 91
2 牛顿(Newton)插值 95
2.1 差商 95
2.2 Newton插值公式 96
2.3 差分 99
2.4 等距节点插值公式 101
3 分段线性插值 104
4 埃尔米特(Hermite)插值 107
4.1 Hermite插值 107
4.2 误差估计 108
4.3 分段三次Hermite插值 110
4.4 Hermite插值的一般形式 111
5 样条插值 112
5.1 样条函数的概念 112
5.2 三次样条插值 113
6 快速富里叶变换(FFT) 118
6.1 三角函数插值 118
6.2 快速富里叶变换 119
习题五 124
第六章 函数逼近 127
1.1 多项式拟合 128
1 数据拟合的最小二乘法 128
1.2 指数拟合 129
1.3 线性最小二乘法的一般形式 130
2 正交多项式 133
2.1 基本概念 133
2.2 格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法 134
2.3 常用的正交多项式 136
3 函数的最佳平方逼近 139
4 最佳一致逼近多项式 144
4.1 最佳一致逼近多项式 144
4.2 Chebyshevg插值法 145
习题六 148
第七章 数值微分与数值积分 150
1 数值微分 150
1.1 差商型求导公式 150
1.2 插值型求导公式 151
1.3 利用样条函数求数值微分 153
2 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 153
2.1 数值积分的基本思想 153
2.2 Newton-Cotes公式 154
2.3 误差估计 156
3.1 复化梯形公式 159
3 复化求积公式 159
3.2 复化Slmpeon公式 160
3.3 逐次分半算法 162
4 龙贝格(Romberg)求积公式 165
4.1 李查逊(Richardson)外推法 165
4.2 Romberg求积公式 165
4.3 Romberg方法的收敛性 168
5 Gauss型求积公式 170
5.1 一般理论 170
5.2 几种常用的Gauss型求积公式 174
5.3 振荡函数的积分 179
习题七 181
第八章 非线性方程及非线性方程组解法 185
1 对分区间法 185
2 简单迭代法 187
2.1 简单迭代法的一般形式及其几何意义 187
2.2 简单迭代法的收敛条件 189
2.3 Steffensen方法--简单迭代法的加速 192
3 Newton法与弦截法 193
3.1 Newton法 193
3.2 弦截法 195
4 抛物线法(Muller法) 196
5 非线性方程组的解法 198
5.1 解非线性方程组的Newton法 198
5.2 最速下降法 199
习题八 201
第九章 常微分方程数值解法 204
1 欧拉(Euler)方法 205
1.1 Euler方法 205
1.2 Euler方法的误差估计 207
2.2 改进Euler法 208
2.1 梯形公式 208
2 改进的Euler方法 208
3 龙格-库塔(Runge-Kurrs)法 210
3.1 Runge-Kutta法的基本思想 210
3.2 RK方法的构造 211
3.3 变步长的RK方法 213
4 线性多步法 214
4.1 线性多步公式的导出 214
4.2 常用的线性多步公式 216
4.3 预测-校正系统 220
5.1 相容性与收敛性 222
5 相容性、收敛性与稳定性 222
5.2 稳定性 224
6 一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法 227
6.1 一阶微分方程组的数值解法 227
6.2 高阶微分方程的数值解法 228
习题九 230
第十章 偏微分方程数值解法 233
1 差分方法的基本概念 233
1.1 偏微分方程的定解问题 233
1.2 差分方法的基本概念 234
2.1 差分格式的建立 236
2 椭圆型方程第一边值问题的差分解法 236
2.2 差分格式解的存在唯一性 240
3 抛物型方程的差分解法及其稳定性 241
3.1 差分格式的建立 241
3.2 差分格式的稳定性 246
4 双曲型方程的差分解法 248
4.1 几种简单的差分格式 249
4.2 差分格式的收敛性与稳定性 251
4.3 利用特征线构造差分格式 253
习题十 254
参考文献 257