数值计算方法PDF电子书下载

第一章 误差 1

1 误差的来源 1

2 绝对误差、相对误差和有效数字 1

2.1 绝对误差与相对误差 1

2.2 有效数字 3

3 数值计算中误差的传播 4

3.1 基本运算中的误差估计 4

3.2 算法的数值稳定性 5

4 数值计算中应注意的问题 7

习题一 10

第二章 解线性方程组的直接方法 11

1 高斯(Gauss)消去法 12

1.1 Gauss消去法 12

1.2 Gauss消去法的计算量 14

2 主元素法 14

2.1 列主元素法 15

2.2 金主元素法 16

3 自接三角解法 18

3.1 Gauss消去法的矩阵形式 18

3.2 矩阵的三角分解 20

3.3 直接三角分解法 23

3.4 解三对角方程组的追赶法 25

4.1 平方根法(cholesky分解法) 28

4 平方根法与改进的平方根法 28

4.2 改进的平方根法(LDLT法) 30

5 误差分析 31

5.1 向量和矩阵的范数 31

5.2 方程组的状态与条件数 36

5.3 误差分析 39

6 超定线性方程组的最小二乘解 40

习题二 43

1.1 迭代法的一般形式 46

1.2 向量序列与矩阵序列的收敛性 46

1 迭代法概述 46

第三章 解线性方程组的迭代法 46

2 雅可比(Jocobi)迭代法 47

3 高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法 49

4 松弛法 52

5 迭代法的收敛条件 54

5.1 矩阵的谱半径 54

5.2 迭代法的收敛条件 55

5.3 误差估计 59

6.2 共轭梯度法 61

6 最速下降法与共轭梯度法 61

6.1 最速下降法 61

习题三 63

第四章 矩阵特征值与特征向量的计算 66

1 幂法和反幂法 66

1.1 幂法 66

1.2 幂法的加速 69

1.3 反幂法 72

2 Jacobi方法 73

2.1 矩阵的旋转变换 74

2.2 Jacobi方法 75

3 OR算法 77

3.1 基本QR方法 77

3.2 豪斯豪尔德(Householder)变换 79

3.3 化一般矩阵为拟上三角阵 80

3.4 拟上三角阵的QR分解 83

3.5 带原点移位的QR方法 86

习题四 87

第五章 插值法 89

1 拉格朗日(Lagrange)插值 89

1.1 多项式插值 89

1.2 插值多项式的语差估计 90

1.3 Lagrange插值多项式 91

2 牛顿(Newton)插值 95

2.1 差商 95

2.2 Newton插值公式 96

2.3 差分 99

2.4 等距节点插值公式 101

3 分段线性插值 104

4 埃尔米特(Hermite)插值 107

4.1 Hermite插值 107

4.2 误差估计 108

4.3 分段三次Hermite插值 110

4.4 Hermite插值的一般形式 111

5 样条插值 112

5.1 样条函数的概念 112

5.2 三次样条插值 113

6 快速富里叶变换(FFT) 118

6.1 三角函数插值 118

6.2 快速富里叶变换 119

习题五 124

第六章 函数逼近 127

1.1 多项式拟合 128

1 数据拟合的最小二乘法 128

1.2 指数拟合 129

1.3 线性最小二乘法的一般形式 130

2 正交多项式 133

2.1 基本概念 133

2.2 格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法 134

2.3 常用的正交多项式 136

3 函数的最佳平方逼近 139

4 最佳一致逼近多项式 144

4.1 最佳一致逼近多项式 144

4.2 Chebyshevg插值法 145

习题六 148

第七章 数值微分与数值积分 150

1 数值微分 150

1.1 差商型求导公式 150

1.2 插值型求导公式 151

1.3 利用样条函数求数值微分 153

2 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 153

2.1 数值积分的基本思想 153

2.2 Newton-Cotes公式 154

2.3 误差估计 156

3.1 复化梯形公式 159

3 复化求积公式 159

3.2 复化Slmpeon公式 160

3.3 逐次分半算法 162

4 龙贝格(Romberg)求积公式 165

4.1 李查逊(Richardson)外推法 165

4.2 Romberg求积公式 165

4.3 Romberg方法的收敛性 168

5 Gauss型求积公式 170

5.1 一般理论 170

5.2 几种常用的Gauss型求积公式 174

5.3 振荡函数的积分 179

习题七 181

第八章 非线性方程及非线性方程组解法 185

1 对分区间法 185

2 简单迭代法 187

2.1 简单迭代法的一般形式及其几何意义 187

2.2 简单迭代法的收敛条件 189

2.3 Steffensen方法--简单迭代法的加速 192

3 Newton法与弦截法 193

3.1 Newton法 193

3.2 弦截法 195

4 抛物线法(Muller法) 196

5 非线性方程组的解法 198

5.1 解非线性方程组的Newton法 198

5.2 最速下降法 199

习题八 201

第九章 常微分方程数值解法 204

1 欧拉(Euler)方法 205

1.1 Euler方法 205

1.2 Euler方法的误差估计 207

2.2 改进Euler法 208

2.1 梯形公式 208

2 改进的Euler方法 208

3 龙格-库塔(Runge-Kurrs)法 210

3.1 Runge-Kutta法的基本思想 210

3.2 RK方法的构造 211

3.3 变步长的RK方法 213

4 线性多步法 214

4.1 线性多步公式的导出 214

4.2 常用的线性多步公式 216

4.3 预测-校正系统 220

5.1 相容性与收敛性 222

5 相容性、收敛性与稳定性 222

5.2 稳定性 224

6 一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法 227

6.1 一阶微分方程组的数值解法 227

6.2 高阶微分方程的数值解法 228

习题九 230

第十章 偏微分方程数值解法 233

1 差分方法的基本概念 233

1.1 偏微分方程的定解问题 233

1.2 差分方法的基本概念 234

2.1 差分格式的建立 236

2 椭圆型方程第一边值问题的差分解法 236

2.2 差分格式解的存在唯一性 240

3 抛物型方程的差分解法及其稳定性 241

3.1 差分格式的建立 241

3.2 差分格式的稳定性 246

4 双曲型方程的差分解法 248

4.1 几种简单的差分格式 249

4.2 差分格式的收敛性与稳定性 251

4.3 利用特征线构造差分格式 253

习题十 254

参考文献 257