第1章 绪论 1
1 数值分析研究的对象和内容 1
2 误差来源和分类 2
3 绝对误差、相对误差与有效数字 3
4 数值计算中的若干原则 6
习题1 10
第2章 解线性方程组的直接方法 12
1 Gauss消去法 13
1.1 顺序Gauss消去法 13
1.2 列主元Gauss消去法 17
2 直接三角分解方法 20
2.1 Gauss消去法的矩阵运算 20
2.2 Doolittle分解法 23
2.3 平方根法 28
2.4 追赶法 32
3 用直接法解大型带状方程组 34
3.1 三角分解方法解大型带状方程组 35
3.2 大型带状矩阵的压缩存贮方法 37
4 向量和矩阵的范数 40
4.1 向量的范数 40
4.2 矩阵的范数 41
5 线性方程组固有性态与误差分析 45
5.1 方程组的固有性态 45
5.2 预条件和迭代改善 48
习题2 49
1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 53
第3章 解线性方程组的迭代法 53
2 迭代法的一般形式与收敛性 58
3 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的收敛性 60
4 逐次超松弛迭代法--SOR方法 62
5 块迭代法 66
5.1 块Jacobi迭代法 68
5.2 块SOR迭代法 68
6.1 等价的极值问题与最速下降法 69
6 共轭梯度法 69
6.2 共轭梯度法 71
习题3 75
第4 解非线性方程(组)的迭代法 78
1 二分法 78
2 简单迭代法 80
2.1 简单迭代法的一般形式 80
2.2 简单迭代法的收敛条件 82
2.3 简单迭代法的误差分析与收敛阶 84
3 Newton迭代法 89
3.1 Newton迭代公式 89
3.2 Newton迭代法的收敛性 90
3.3 Newton迭代法的变形 93
4 解非线性方程组的迭代法 96
4.1 Newton迭代法 97
4.2 拟Newton法 99
习题4 102
第5章 矩阵特征值与特征向量的计算 105
1 乘幂法与反幂法 107
1.1 乘幂法 107
1.2 加速技术 111
1.3 反幂法 113
2 Jacobi方法 116
2.1 平面旋转矩阵 116
2.2 Jacobi方法 119
3 QR方法 122
3.1 平面反射矩阵及其性质 123
3.2 QR分解定理 124
3.3 QR方法的计算过程 126
习题5 131
第6章 插值与逼近 134
1 多项式插值问题 134
2 Lagrange插值多项式 136
3.1 差商及其性质 141
3 Newton插值多项式 141
3.2 Newton插值多项式及其余项 143
4 分段插值多项式 145
4.1 分段Lagrange插值 146
4.2 分段Hermite插值 147
5 三次样条插值 149
6 正交多项式与最佳均方逼近 157
6.1 正交多项式 157
6.2 最佳均方逼近 161
7 数据拟合的最小二乘法 164
7.1 数据拟合问题 164
7.2 数据拟合的最小二乘法 165
8 离散Fourier变换与FFT算法 169
8.1 离散Fourier变换 169
8.2 快速Fourier(FFT)算法 172
习题6 180
1 插值型求积分式 184
第7章 数值积分 184
2 求积公式的一般形式及其代数精度 189
3 复化求积公式 192
4 外推算法 197
4.1 Richardson外推算法 197
4.2 Romberg求积公式 198
5 Gauss型求积公式 202
5.1 Gauss型求积公式的一般理论 202
5.2 几种Gauss型求积公式 205
6 数值微分 209
6.1 差商型数值微分 209
6.2 插值型数值微分 211
习题7 212
第8章 常微分方程数值解法 215
1 引言 215
1.1 为什么要研究数值解法 215
1.2 构造数值解法的基本思想 216
2.1 改进的Euler方法 219
2 改进的Euler方法和Taylor展开方法 219
2.2 差分公式的误差分析 221
2.3 Tayloy展开方法 222
3 Runge-Kutta方法 223
3.1 Runge-Kutta方法的构造 223
3.2 变步长Runge-Kutta方法 229
4 单步方法的收敛性和稳定性 229
4.1 单步方法的收敛性 230
4.2 单步方法的稳定性 232
5 线性多步方法 234
5.1 利用待定参数法构造线性多步方法 234
5.2 利用数值积分构造线性多步方法 235
6 常微分方程组与高阶微分方程的数值解法 239
6.1 一阶常微分方程组的数值解法 239
6.2 化高阶方程为一阶方程组 241
7 常微分方程边值问题的数值解法 243
7.1 打靶法 243
7.2 有限差分方法 246
习题8 250
第9章 偏微分方程的差分方法 254
1 椭圆型方程边值问题的差分方法 254
1.1 差分方程的建立 254
1.2 一般区域的边界条件处理 258
1.3 差分方程解的存在惟一性与迭代求解 260
2 抛物型方程的差分方法 262
2.1 一维问题 262
2.2 差分格式的稳定性 268
2.3 高维问题 272
3 双曲型方程的差分方法 275
3.1 一阶双曲方程 275
3.2 一阶双曲方程组 279
3.3 二阶双曲方程 280
习题9 282
习题解答 285
参考文献 301