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第1章 绪论 1

1 数值分析研究的对象和内容 1

2 误差来源和分类 2

3 绝对误差、相对误差与有效数字 3

4 数值计算中的若干原则 6

习题1 10

第2章 解线性方程组的直接方法 12

1 Gauss消去法 13

1.1 顺序Gauss消去法 13

1.2 列主元Gauss消去法 17

2 直接三角分解方法 20

2.1 Gauss消去法的矩阵运算 20

2.2 Doolittle分解法 23

2.3 平方根法 28

2.4 追赶法 32

3 用直接法解大型带状方程组 34

3.1 三角分解方法解大型带状方程组 35

3.2 大型带状矩阵的压缩存贮方法 37

4 向量和矩阵的范数 40

4.1 向量的范数 40

4.2 矩阵的范数 41

5 线性方程组固有性态与误差分析 45

5.1 方程组的固有性态 45

5.2 预条件和迭代改善 48

习题2 49

1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 53

第3章 解线性方程组的迭代法 53

2 迭代法的一般形式与收敛性 58

3 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的收敛性 60

4 逐次超松弛迭代法--SOR方法 62

5 块迭代法 66

5.1 块Jacobi迭代法 68

5.2 块SOR迭代法 68

6.1 等价的极值问题与最速下降法 69

6 共轭梯度法 69

6.2 共轭梯度法 71

习题3 75

第4 解非线性方程(组)的迭代法 78

1 二分法 78

2 简单迭代法 80

2.1 简单迭代法的一般形式 80

2.2 简单迭代法的收敛条件 82

2.3 简单迭代法的误差分析与收敛阶 84

3 Newton迭代法 89

3.1 Newton迭代公式 89

3.2 Newton迭代法的收敛性 90

3.3 Newton迭代法的变形 93

4 解非线性方程组的迭代法 96

4.1 Newton迭代法 97

4.2 拟Newton法 99

习题4 102

第5章 矩阵特征值与特征向量的计算 105

1 乘幂法与反幂法 107

1.1 乘幂法 107

1.2 加速技术 111

1.3 反幂法 113

2 Jacobi方法 116

2.1 平面旋转矩阵 116

2.2 Jacobi方法 119

3 QR方法 122

3.1 平面反射矩阵及其性质 123

3.2 QR分解定理 124

3.3 QR方法的计算过程 126

习题5 131

第6章 插值与逼近 134

1 多项式插值问题 134

2 Lagrange插值多项式 136

3.1 差商及其性质 141

3 Newton插值多项式 141

3.2 Newton插值多项式及其余项 143

4 分段插值多项式 145

4.1 分段Lagrange插值 146

4.2 分段Hermite插值 147

5 三次样条插值 149

6 正交多项式与最佳均方逼近 157

6.1 正交多项式 157

6.2 最佳均方逼近 161

7 数据拟合的最小二乘法 164

7.1 数据拟合问题 164

7.2 数据拟合的最小二乘法 165

8 离散Fourier变换与FFT算法 169

8.1 离散Fourier变换 169

8.2 快速Fourier(FFT)算法 172

习题6 180

1 插值型求积分式 184

第7章 数值积分 184

2 求积公式的一般形式及其代数精度 189

3 复化求积公式 192

4 外推算法 197

4.1 Richardson外推算法 197

4.2 Romberg求积公式 198

5 Gauss型求积公式 202

5.1 Gauss型求积公式的一般理论 202

5.2 几种Gauss型求积公式 205

6 数值微分 209

6.1 差商型数值微分 209

6.2 插值型数值微分 211

习题7 212

第8章 常微分方程数值解法 215

1 引言 215

1.1 为什么要研究数值解法 215

1.2 构造数值解法的基本思想 216

2.1 改进的Euler方法 219

2 改进的Euler方法和Taylor展开方法 219

2.2 差分公式的误差分析 221

2.3 Tayloy展开方法 222

3 Runge-Kutta方法 223

3.1 Runge-Kutta方法的构造 223

3.2 变步长Runge-Kutta方法 229

4 单步方法的收敛性和稳定性 229

4.1 单步方法的收敛性 230

4.2 单步方法的稳定性 232

5 线性多步方法 234

5.1 利用待定参数法构造线性多步方法 234

5.2 利用数值积分构造线性多步方法 235

6 常微分方程组与高阶微分方程的数值解法 239

6.1 一阶常微分方程组的数值解法 239

6.2 化高阶方程为一阶方程组 241

7 常微分方程边值问题的数值解法 243

7.1 打靶法 243

7.2 有限差分方法 246

习题8 250

第9章 偏微分方程的差分方法 254

1 椭圆型方程边值问题的差分方法 254

1.1 差分方程的建立 254

1.2 一般区域的边界条件处理 258

1.3 差分方程解的存在惟一性与迭代求解 260

2 抛物型方程的差分方法 262

2.1 一维问题 262

2.2 差分格式的稳定性 268

2.3 高维问题 272

3 双曲型方程的差分方法 275

3.1 一阶双曲方程 275

3.2 一阶双曲方程组 279

3.3 二阶双曲方程 280

习题9 282

习题解答 285

参考文献 301