第7章 微分的理论与应用 1
§1 微分中值定理 1
费马定理 1
罗尔定理 2
拉格朗日定理 5
柯西定理 9
§2 不定型的极限 11
0/0型的洛必达法则 12
*/∞型讨论 14
其他不定型 16
§3 泰勒展开 21
拉格朗日余项 23
几个初等函数的泰勒展开 26
泰勒展开的几点应用 30
§4 函数方程的牛顿迭代法 35
§5 曲率与凸函数 40
曲率 40
凸函数 44
§6 函数的增减与极值 51
导数符号与函数的单调性 51
局部极大(小)值 54
函数的最大值与最小值 57
函数图形 60
§7 渐屈线与渐伸线 65
第8章 积分的应用与计算 73
§1 分部积分和换元法的应用 73
沃利斯公式 73
极坐标下的面积公式 77
§2 有理函数的积分 83
部分分式法 83
§3 根式函数和三角函数的积分 93
欧勒代换 94
万能代换 99
§4 黎曼-施蒂尔杰斯积分 104
有界变差函数 104
曲线弧长 108
施蒂尔杰斯积分 113
§5 旋转体的体积和侧面积 121
旋转体的体积 123
旋转体的侧面积 124
重心与形心 127
§6 万有引力定律 131
开普勒三定律 131
引力场作功 135
§7 椭圆积分 137
单摆周期 137
椭圆周长 138
§8 数值积分 142
中点规则 142
梯形规则 143
辛普森规则 144
欧勒-麦克劳林公式 146
n1的初步估计 154
第9章 函数项级数 158
§1 函数项级数的一致收敛性 158
收敛性 158
函数项级数与函数序列 159
一致收敛性 160
§2 一致收敛性判别法 170
韦尔斯特拉斯判别法 170
阿贝尔判别法 171
狄利克雷判别法 172
和函数的连续性 175
§3 一致收敛级数的基本性质 175
狄尼定理 176
逐项积分 179
逐项微分 180
点点不可微的连续函数 181
§4 幂级数 184
收敛半径，柯西-阿达玛定理 185
幂级数的基本性质，无限次可微性 189
§5 函数的幂级数展开 196
泰勒级数 196
余项的积分形式 198
初等函数的展开 200
§6 连续函数的多项式逼近 209
伯恩斯坦多项式 209
韦尔斯特拉斯一致逼近定理 211
三角级数 214
第10章 傅里叶级数 214
§1 傅里叶系数 214
三角函数系的正交性 215
欧勒-傅里叶公式 216
§2 一致逼近与均方逼近 219
韦尔斯特拉斯一致逼近定理 219
平方平均偏差 223
§3 傅里叶级数的收敛性 226
狄利克雷积分 226
黎曼引理 228
狄尼定理，利普希茨判别法 234
狄利克雷引理，狄利克雷-约当判别法 236
§4 函数的傅里叶级数展开 240
周期为2π的函数 240
周期为T的函数 245
逐项积分 248
§5 傅里叶级数的逐项积分和逐项微分 248
傅里叶系数的一个必要条件 252
逐项微分 252
§6 傅里叶积分 254
傅里叶级数的复数形式 255
傅里叶变换与逆变换 258
傅里叶变换的几点性质，卷积 261
第11章 欧几里得空间 264
§1 n维空间 264
距离 265
内积，范数 266
§2 点集拓扑的基本概念 268
邻域，极限 268
开集与闭集 270
区域 274
嵌套矩形定理 275
§3 R2的几个基本定理 275
有界点集 276
波尔查诺-韦尔斯特拉斯定理 277
紧集 278
海涅-波莱尔定理 279
柯西收敛准则 281
§4 多元函数 282
二元函数的概念 282
二元函数的极限 284
二元函数的连续性 288
紧集上连续函数的性质 290
二重极限与二次极限 295
§5 向量值函数 301
向量值函数的概念 301
向量值函数的极限 303
连续映射 304