第一章 函数与极限 1
1.1 绝对值与区间 1
1.1.1 绝对值 1
1.1.2 区间 2
习题1-1 3
1.2 数列极限 3
1.2.1 数列 3
1.2.2 数列的极限 4
1.2.3 数列极限的性质 7
1.2.4 数列极限的运算法则 8
1.2.5 数列极限存在准则 10
习题1-2 13
1.5.1 函数的连续性 13
1.3 函数 16
1.3.1 函数概念 16
1.3.2 研究函数时常要考察的几种性质 20
1.3.3 初等函数 21
习题1-3 26
1.4.1 自变量趋于无限时函数的极限 28
1.4 函数极限 28
1.4.2 自变量趋向有限值时函数的极限 30
1.4.3 函数极限的统一定义和性质 32
1.4.4 无穷小量与无穷大量 34
1.4.5 极限运算法则 37
习题1-4 40
1.5 连续函数 43
1.5.2 函数的间断点 45
1.5.3 闭区间上连续函数的性质 46
1.5.4 初等函数的连续性 47
习题1-5 49
1.6 无穷小比较 51
1.6.1 两个重要极限 51
1.6.2 无穷小的比较 55
习题1-6 58
第二章 导数与微分 61
2.1 导数概念 61
2.1.1 问题的提出 61
2.1.2 导数定义 62
习题2-1 66
2.2 求导法则 68
2.2.1 函数的和差积商的求导法则 68
2.2.2 反函数的求导法则 70
2.2.3 复合函数的求导法则 70
2.2.4 初等函数求导方法小结 72
习题2-2 74
2.3 最值问题 77
2.3.1 闭区间上连续函数的最值 77
2.3.2 开区间内连续函数的最值 78
习题2-3 80
2.4 微分及其应用 81
2.4.1 微分概念 81
2.4.2 微分运算 83
2.4.3 微分在近似计算中的应用 84
2.4.4 微分在误差估计中的应用 85
习题2-4 87
2.5 求导法则补充 88
2.5.1 隐函数求导法则 88
2.5.2 参数方程所确定的函数的求导法则 90
2.5.3 相关变化率 91
习题2-5 92
2.6 高阶导数 93
2.6.1 高阶导数 93
2.6.2 莱布尼兹公式 95
2.6.3 隐函数的高阶导数 96
2.6.4 参数方程所确定函数的高阶导数 96
习题2-6 97
3.1.1 原函数与不定积分概念 100
3.1 原函数与不定积分 100
第三章 不定积分与定积分 100
3.1.2 不定积分基本公式 101
习题3-1 105
3.2 积分法则 107
3.2.1 第一类换元积分法则 107
3.2.2 第二类换元积分法则 111
3.2.3 分部积分法则 113
3.2.4 不能用初等函数表示的不定积分 116
习题3-2 116
3.3.1 有理函数的不定积分 120
3.3 三种特殊类型函数的不定积分 120
3.3.2 三角函数有理式的不定积分 123
3.3.3 简单无理函数的不定积分 125
习题3-3 126
3.4 定积分概念 129
3.4.1 实例 129
3.4.2 定积分定义 131
3.4.3 定积分性质 134
3.4.4 微积分基本定理 137
习题3-4 140
3.5 定积分的计算 142
3.5.1 定积分的换元积分法则 142
3.5.2 定积分的分部积分法则 144
3.5.3 定积分的近似计算 146
习题3-5 149
3.6 广义积分 151
3.6.1 无穷区间上的广义积分 151
3.6.2 无界函数的广义积分 153
习题3-6 154
3.7.1 定积分的元素法 156
3.7 定积分应用 156
3.7.2 平面图形的面积 157
3.7.3 体积 160
3.7.4 平面曲线的弧长 162
3.7.5 定积分的物理应用 164
习题3-7 166
第四章 中值定理及导数应用 168
4.1 微分中值定理与函数增减性判别 168
4.1.1 罗尔定理 168
4.1.2 拉格朗日定理 169
4.1.3 函数的增减性判别 171
4.1.4 柯西定理 172
4.1.5 例题 173
习题4-1 174
4.2 洛必大法则 176
4.2.1 ？型未定式 177
4.2.2 ？型未定式 179
4.2.3 其他类型未定式 181
习题4-2 183
4.3.1 泰勒公式 185
4.3 泰勒公式 185
4.3.2 几个常用的麦克劳林公式 187
4.3.3 泰勒公式的应用举例 189
习题4-3 191
4.4 关于函数图形的讨论 193
4.4.1 函数的极值 193
4.4.2 函数的凹凸性与拐点 195
4.4.3 渐近线 197
4.4.4 函数作图 199
习题4-4 200
4.5 曲率 202
4.5.1 曲率概念 202
4.5.2 曲率圆 204
4.5.3 渐屈线与渐伸线 206
习题4-5 207
4.6 方程近似解 208
习题4-6 210
5.1.2 微分方程的解 211
5.1.1 什么是微分方程 211
5.1 微分方程的一般概念 211
第五章 微分方程 211
习题5-1 213
5.2 一阶方程 214
5.2.1 变量可分离方程与分离变量法 214
5.2.2 齐次方程与换元法 216
5.2.3 一阶线性方程与常数变易法 219
习题5-2 223
5.3.1 可降阶的几类高阶方程 225
5.3 高阶方程 225
5.3.2 高阶线性方程的一般理论 228
习题5-3 233
5.4 常系数线性微分方程 234
5.4.1 常系数齐线性方程的解法 234
5.4.2 常系数非齐线性方程的解法 236
5.4.3 欧拉方程 238
习题5-4 238
附录 241
一、简明积分表 241
二、几种常用的曲线 247