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第一章 函数与极限 1

1.1 绝对值与区间 1

1.1.1 绝对值 1

1.1.2 区间 2

习题1-1 3

1.2 数列极限 3

1.2.1 数列 3

1.2.2 数列的极限 4

1.2.3 数列极限的性质 7

1.2.4 数列极限的运算法则 8

1.2.5 数列极限存在准则 10

习题1-2 13

1.5.1 函数的连续性 13

1.3 函数 16

1.3.1 函数概念 16

1.3.2 研究函数时常要考察的几种性质 20

1.3.3 初等函数 21

习题1-3 26

1.4.1 自变量趋于无限时函数的极限 28

1.4 函数极限 28

1.4.2 自变量趋向有限值时函数的极限 30

1.4.3 函数极限的统一定义和性质 32

1.4.4 无穷小量与无穷大量 34

1.4.5 极限运算法则 37

习题1-4 40

1.5 连续函数 43

1.5.2 函数的间断点 45

1.5.3 闭区间上连续函数的性质 46

1.5.4 初等函数的连续性 47

习题1-5 49

1.6 无穷小比较 51

1.6.1 两个重要极限 51

1.6.2 无穷小的比较 55

习题1-6 58

第二章 导数与微分 61

2.1 导数概念 61

2.1.1 问题的提出 61

2.1.2 导数定义 62

习题2-1 66

2.2 求导法则 68

2.2.1 函数的和差积商的求导法则 68

2.2.2 反函数的求导法则 70

2.2.3 复合函数的求导法则 70

2.2.4 初等函数求导方法小结 72

习题2-2 74

2.3 最值问题 77

2.3.1 闭区间上连续函数的最值 77

2.3.2 开区间内连续函数的最值 78

习题2-3 80

2.4 微分及其应用 81

2.4.1 微分概念 81

2.4.2 微分运算 83

2.4.3 微分在近似计算中的应用 84

2.4.4 微分在误差估计中的应用 85

习题2-4 87

2.5 求导法则补充 88

2.5.1 隐函数求导法则 88

2.5.2 参数方程所确定的函数的求导法则 90

2.5.3 相关变化率 91

习题2-5 92

2.6 高阶导数 93

2.6.1 高阶导数 93

2.6.2 莱布尼兹公式 95

2.6.3 隐函数的高阶导数 96

2.6.4 参数方程所确定函数的高阶导数 96

习题2-6 97

3.1.1 原函数与不定积分概念 100

3.1 原函数与不定积分 100

第三章 不定积分与定积分 100

3.1.2 不定积分基本公式 101

习题3-1 105

3.2 积分法则 107

3.2.1 第一类换元积分法则 107

3.2.2 第二类换元积分法则 111

3.2.3 分部积分法则 113

3.2.4 不能用初等函数表示的不定积分 116

习题3-2 116

3.3.1 有理函数的不定积分 120

3.3 三种特殊类型函数的不定积分 120

3.3.2 三角函数有理式的不定积分 123

3.3.3 简单无理函数的不定积分 125

习题3-3 126

3.4 定积分概念 129

3.4.1 实例 129

3.4.2 定积分定义 131

3.4.3 定积分性质 134

3.4.4 微积分基本定理 137

习题3-4 140

3.5 定积分的计算 142

3.5.1 定积分的换元积分法则 142

3.5.2 定积分的分部积分法则 144

3.5.3 定积分的近似计算 146

习题3-5 149

3.6 广义积分 151

3.6.1 无穷区间上的广义积分 151

3.6.2 无界函数的广义积分 153

习题3-6 154

3.7.1 定积分的元素法 156

3.7 定积分应用 156

3.7.2 平面图形的面积 157

3.7.3 体积 160

3.7.4 平面曲线的弧长 162

3.7.5 定积分的物理应用 164

习题3-7 166

第四章 中值定理及导数应用 168

4.1 微分中值定理与函数增减性判别 168

4.1.1 罗尔定理 168

4.1.2 拉格朗日定理 169

4.1.3 函数的增减性判别 171

4.1.4 柯西定理 172

4.1.5 例题 173

习题4-1 174

4.2 洛必大法则 176

4.2.1 ？型未定式 177

4.2.2 ？型未定式 179

4.2.3 其他类型未定式 181

习题4-2 183

4.3.1 泰勒公式 185

4.3 泰勒公式 185

4.3.2 几个常用的麦克劳林公式 187

4.3.3 泰勒公式的应用举例 189

习题4-3 191

4.4 关于函数图形的讨论 193

4.4.1 函数的极值 193

4.4.2 函数的凹凸性与拐点 195

4.4.3 渐近线 197

4.4.4 函数作图 199

习题4-4 200

4.5 曲率 202

4.5.1 曲率概念 202

4.5.2 曲率圆 204

4.5.3 渐屈线与渐伸线 206

习题4-5 207

4.6 方程近似解 208

习题4-6 210

5.1.2 微分方程的解 211

5.1.1 什么是微分方程 211

5.1 微分方程的一般概念 211

第五章 微分方程 211

习题5-1 213

5.2 一阶方程 214

5.2.1 变量可分离方程与分离变量法 214

5.2.2 齐次方程与换元法 216

5.2.3 一阶线性方程与常数变易法 219

习题5-2 223

5.3.1 可降阶的几类高阶方程 225

5.3 高阶方程 225

5.3.2 高阶线性方程的一般理论 228

习题5-3 233

5.4 常系数线性微分方程 234

5.4.1 常系数齐线性方程的解法 234

5.4.2 常系数非齐线性方程的解法 236

5.4.3 欧拉方程 238

习题5-4 238

附录 241

一、简明积分表 241

二、几种常用的曲线 247