第一章 引论 1
1-1 什么是数值分析 1
1-2 误差来源与误差概念 3
一、误差来源 3
二、误差的概念与有效数字 4
1-3 误差分析方法 8
一、向前误差分析与向后误差分析 8
二、估计误差的区间分析法 8
三、舍入误差的概率分析方法 9
1-4 计算机的浮点运算 11
一、浮点数 11
二、浮点算术运算 12
1-5 条件及稳定性 14
习题 15
第二章 解线性方程组的直接法 17
2-1 基本定理和问题 17
2-2 一般性的评论 18
一、问题的来源及类型 18
二、病态条件 19
三、误差来源 20
2-3 Gauss 消去法 20
一、Gauss 消去法 21
二、工作量的计算 23
三、Gauss-Jordan 消去法 24
四、列选主元消去法 25
五、平衡技术 27
2-4 直接三角分解法 29
一、矩阵的三角分解 30
二、Doolittle 方法 32
三、Crout 方法 38
四、解三对角方程组的追赶法 39
五、平方根法 41
六、改进的平方根法 44
2-5 矩阵求逆法 46
2-6 向量范数与矩阵范数 50
一、向量范数 50
二、矩阵范数 54
三、谱半径 60
2-7 矩阵的条件数与舍入误差的分析 61
一、初始数据误差的影响及矩阵的条件数 62
二、舍入误差分析 65
习题 68
第三章 解线性方程组的迭代法 76
3-1 引言 76
3-2 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法 76
3-3 迭代法的收敛性 79
3-4 逐次超松驰迭代法 85
3-5 判别定理 89
3-6 收敛速度 97
习题 100
第四章 矩阵的特征值和特征向量的计算 106
4-1 基本关系 106
一、基本定理 106
二、特征值的定位和界 107
一、求按模最大的特征值和对应的特征向量 109
4-2 计算按模最大特征值的乘幂法 109
二、收敛的加速 112
三、反幂法 113
4-3 雅可比(Jacobi)方法 115
4-4 吉文斯(Givens)与豪斯赫尔德(Householder)方法 119
一、Givens 方法 119
二、Householder 方法 120
4-5 对称三对角矩阵的特征值计算 123
4-6 LR和QR算法 126
习题 129
第五章 插值法 131
5-1 Lagrange 插值 131
一、插值的基本概念 131
三、Lagrange 插值多项式 132
二、插值多项式的存在唯一性 132
四、插值余项 134
5-2 差商与 Newton 插值 137
5-3 差分与等距节点的插值 140
一、等距节点 Lagrange 插值 140
二、差分及其插值公式 141
三、有限差分插值公式的应用 147
5-4 Aitken 逐步插值 148
5-5 反插值 150
5-6 Hermite 插值 156
5-7 插值多项式的收敛性与数值计算的稳定性 156
5-8 分段插值 159
5-9 样条函数与样条插值 163
一、引言 163
二、基本概念 164
三、三弯矩插值法 166
四、三转角插值法 168
五、例 171
5-10 样条插值函数的重要性质 172
一、泛函 172
二、样条插值函数的极小性 173
三、样条插值函数的余项估计式及其收敛性 174
习题 177
第六章 函数的——致逼近及平方逼近 183
6-1 逼近的有关概念及 Weierstrass 定理 183
一、问题的提出 183
二、逼近与范数 184
三、Weierstrass 定理 186
一、最佳一致逼近多项式的存在性 188
6-2 最佳一致逼近多项式 188
二、切比雪夫定理 190
三、最佳一次逼近多项式 194
6-3 切比雪夫多项式 195
一、切比雪夫多项式的定义及简单性质 195
二、切比雪夫多项式的极性 198
6-4 幂级数的节约 200
6-5 最佳一致逼近多项式的近似求法 201
6-6 最佳平方逼近 203
一、预备知识 203
二、函数的最佳平方逼近 206
三、以正交函数系作最佳平方逼近 209
6-7 正交多项式及其性质 210
一、定义及其性质 210
二、(勒让得)Legendre 多项式 213
三、用 Legendre 多项式作最佳平方逼近 215
四、两类常见的正交多项式 216
6-8 函数按切比雪夫多项式展开 216
习题 217
第七章 最小二乘法与快速富里埃变换 220
7-1 曲线拟合与最小二乘原理 220
一、问题的提出 220
二、最小二乘法 220
7-2 多项式最小二乘逼近 224
一、多项式最小二乘逼近 224
二、方程求解存在的问题 228
三、多项式次数的选择 229
7-3 正交多项式逼近 230
7-4 产生最小二乘逼近的一个例子 234
7-5 三角函数插值与离散富里埃变换(DFT) 235
7-6 快速富里埃变换(FFT) 237
习题 243
第八章 非线性方程的解法 245
8-1 问题的提出 245
8-2 迭代法的一般概念 247
一、收敛性 247
二、收敛速度 248
三、计算效率 248
8-3 单点迭代法 249
一、简单迭代法 249
二、简单迭代法的收敛阶 253
三、单点迭代法的构造 254
四、Newton 迭代法 255
一、多点迭代法的构造 259
8-4 多点迭代法 259
二、割线法 262
8-5 重根上的迭代法 268
8-6 加速收敛的 Aitken δ2 手续 270
8-7 误差检验 271
8-8 非线性方程组 273
习题 279
第九章 数值积分与数值微分 285
9-1 数值积分的一般问题 285
一、问题的提出 285
二、数值积分的基本思想 285
三、代数精度与插值型求积公式 286
一、Newton-Cotes 公式 288
9-2 等距节点的 Newton-Cotes 公式 288
二、Newton-Cotes 公式的余项 291
三、复化的 Newton-Cotes 公式 294
9-3 Romberg 积分法 297
一、Richardson 外推法 297
二、Romberg 积分法 299
9-4 Gauss 求积公式 301
一、Gauss 求积公式及其性质 301
二、Gauss-Legendre 求积公式 305
9-5 一般的 Gauss 型求积公式 308
一、带权函数的 Gauss 型求积公式 308
二、Christoffel-Darboux 恒等式 310
9-6 无穷区间上的 Gauss 型求积公式 312
一、Gauss-Jacobi 求积 315
9-7 特殊的 Gauss 型求积公式 315
二、Gauss-Chebyshev 求积 316
三、奇异积分 317
9-8 复化的 Gauss 型求积公式 321
9-9 振荡函数的求积公式 324
9-10 自适应积分 325
9-11 数据的数值积分 330
9-12 数据的数值微分 331
9-13 函数的数值微分 336
习题 339
第十章 常微分方程初值问题的数值解法 343
10-1 数值解法的一般问题 343
一、问题的提出 343
二、数值解法 344
10-2 Euler 方法 345
一、Euler 法的推导 345
二、收敛性 347
三、稳定性 349
四、改进的 Euler 方法及其它 350
10-3 线性多步法的一般形式和阶 352
一、线性多步法的一般形式 352
二、线性多步法的阶 353
10-4 线性多步法导出的其它途径 355
一、利用数值积分构造线性多步法 356
二、利用数值微分构造线性多步法 360
10-5 线性多步法的误差 361
一、局部截断误差 361
二、整体截断误差 362
三、舍入误差和积累误差 363
四、局部截断误差界 364
10-6 线性多步法的收敛性 368
一、常系数线性差分方程 368
二、收敛性的必要条件 371
三、收敛性的充要条件 373
10-7 线性多步法的稳定性 374
一、差分方程解的性态 374
二、积累误差的性态 376
三、稳定性定义 378
四、积累误差的界与估计 380
10-8 预测校正法 381
一、迭代的收敛性 382
二、预测与校正 382
三、局部截断误差估计 385
四、Hamming 方法 386
五、Adams—Bashforth-Moulton 预测校正法 387
10-9 起动计算与改变步长 388
一、起动计算 388
二、改变步长 389
10-10 Runge-Kutta 390
一、Runge-Kutta 法的导出 390
二、局部截断误差的实用估计 394
三、Runge-Kutta 法的稳定性 395
四、R-K法和预测校正法的比较 396
10-11 高阶方程和方程组 397
10-12 刚性方程 400
习题 405
参考文献 411