数值分析基本教程PDF电子书下载

第一章 引论 1

1-1 什么是数值分析 1

1-2 误差来源与误差概念 3

一、误差来源 3

二、误差的概念与有效数字 4

1-3 误差分析方法 8

一、向前误差分析与向后误差分析 8

二、估计误差的区间分析法 8

三、舍入误差的概率分析方法 9

1-4 计算机的浮点运算 11

一、浮点数 11

二、浮点算术运算 12

1-5 条件及稳定性 14

习题 15

第二章 解线性方程组的直接法 17

2-1 基本定理和问题 17

2-2 一般性的评论 18

一、问题的来源及类型 18

二、病态条件 19

三、误差来源 20

2-3 Gauss 消去法 20

一、Gauss 消去法 21

二、工作量的计算 23

三、Gauss-Jordan 消去法 24

四、列选主元消去法 25

五、平衡技术 27

2-4 直接三角分解法 29

一、矩阵的三角分解 30

二、Doolittle 方法 32

三、Crout 方法 38

四、解三对角方程组的追赶法 39

五、平方根法 41

六、改进的平方根法 44

2-5 矩阵求逆法 46

2-6 向量范数与矩阵范数 50

一、向量范数 50

二、矩阵范数 54

三、谱半径 60

2-7 矩阵的条件数与舍入误差的分析 61

一、初始数据误差的影响及矩阵的条件数 62

二、舍入误差分析 65

习题 68

第三章 解线性方程组的迭代法 76

3-1 引言 76

3-2 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法 76

3-3 迭代法的收敛性 79

3-4 逐次超松驰迭代法 85

3-5 判别定理 89

3-6 收敛速度 97

习题 100

第四章 矩阵的特征值和特征向量的计算 106

4-1 基本关系 106

一、基本定理 106

二、特征值的定位和界 107

一、求按模最大的特征值和对应的特征向量 109

4-2 计算按模最大特征值的乘幂法 109

二、收敛的加速 112

三、反幂法 113

4-3 雅可比(Jacobi)方法 115

4-4 吉文斯(Givens)与豪斯赫尔德(Householder)方法 119

一、Givens 方法 119

二、Householder 方法 120

4-5 对称三对角矩阵的特征值计算 123

4-6 LR和QR算法 126

习题 129

第五章 插值法 131

5-1 Lagrange 插值 131

一、插值的基本概念 131

三、Lagrange 插值多项式 132

二、插值多项式的存在唯一性 132

四、插值余项 134

5-2 差商与 Newton 插值 137

5-3 差分与等距节点的插值 140

一、等距节点 Lagrange 插值 140

二、差分及其插值公式 141

三、有限差分插值公式的应用 147

5-4 Aitken 逐步插值 148

5-5 反插值 150

5-6 Hermite 插值 156

5-7 插值多项式的收敛性与数值计算的稳定性 156

5-8 分段插值 159

5-9 样条函数与样条插值 163

一、引言 163

二、基本概念 164

三、三弯矩插值法 166

四、三转角插值法 168

五、例 171

5-10 样条插值函数的重要性质 172

一、泛函 172

二、样条插值函数的极小性 173

三、样条插值函数的余项估计式及其收敛性 174

习题 177

第六章 函数的——致逼近及平方逼近 183

6-1 逼近的有关概念及 Weierstrass 定理 183

一、问题的提出 183

二、逼近与范数 184

三、Weierstrass 定理 186

一、最佳一致逼近多项式的存在性 188

6-2 最佳一致逼近多项式 188

二、切比雪夫定理 190

三、最佳一次逼近多项式 194

6-3 切比雪夫多项式 195

一、切比雪夫多项式的定义及简单性质 195

二、切比雪夫多项式的极性 198

6-4 幂级数的节约 200

6-5 最佳一致逼近多项式的近似求法 201

6-6 最佳平方逼近 203

一、预备知识 203

二、函数的最佳平方逼近 206

三、以正交函数系作最佳平方逼近 209

6-7 正交多项式及其性质 210

一、定义及其性质 210

二、(勒让得)Legendre 多项式 213

三、用 Legendre 多项式作最佳平方逼近 215

四、两类常见的正交多项式 216

6-8 函数按切比雪夫多项式展开 216

习题 217

第七章 最小二乘法与快速富里埃变换 220

7-1 曲线拟合与最小二乘原理 220

一、问题的提出 220

二、最小二乘法 220

7-2 多项式最小二乘逼近 224

一、多项式最小二乘逼近 224

二、方程求解存在的问题 228

三、多项式次数的选择 229

7-3 正交多项式逼近 230

7-4 产生最小二乘逼近的一个例子 234

7-5 三角函数插值与离散富里埃变换(DFT) 235

7-6 快速富里埃变换(FFT) 237

习题 243

第八章 非线性方程的解法 245

8-1 问题的提出 245

8-2 迭代法的一般概念 247

一、收敛性 247

二、收敛速度 248

三、计算效率 248

8-3 单点迭代法 249

一、简单迭代法 249

二、简单迭代法的收敛阶 253

三、单点迭代法的构造 254

四、Newton 迭代法 255

一、多点迭代法的构造 259

8-4 多点迭代法 259

二、割线法 262

8-5 重根上的迭代法 268

8-6 加速收敛的 Aitken δ2 手续 270

8-7 误差检验 271

8-8 非线性方程组 273

习题 279

第九章 数值积分与数值微分 285

9-1 数值积分的一般问题 285

一、问题的提出 285

二、数值积分的基本思想 285

三、代数精度与插值型求积公式 286

一、Newton-Cotes 公式 288

9-2 等距节点的 Newton-Cotes 公式 288

二、Newton-Cotes 公式的余项 291

三、复化的 Newton-Cotes 公式 294

9-3 Romberg 积分法 297

一、Richardson 外推法 297

二、Romberg 积分法 299

9-4 Gauss 求积公式 301

一、Gauss 求积公式及其性质 301

二、Gauss-Legendre 求积公式 305

9-5 一般的 Gauss 型求积公式 308

一、带权函数的 Gauss 型求积公式 308

二、Christoffel-Darboux 恒等式 310

9-6 无穷区间上的 Gauss 型求积公式 312

一、Gauss-Jacobi 求积 315

9-7 特殊的 Gauss 型求积公式 315

二、Gauss-Chebyshev 求积 316

三、奇异积分 317

9-8 复化的 Gauss 型求积公式 321

9-9 振荡函数的求积公式 324

9-10 自适应积分 325

9-11 数据的数值积分 330

9-12 数据的数值微分 331

9-13 函数的数值微分 336

习题 339

第十章 常微分方程初值问题的数值解法 343

10-1 数值解法的一般问题 343

一、问题的提出 343

二、数值解法 344

10-2 Euler 方法 345

一、Euler 法的推导 345

二、收敛性 347

三、稳定性 349

四、改进的 Euler 方法及其它 350

10-3 线性多步法的一般形式和阶 352

一、线性多步法的一般形式 352

二、线性多步法的阶 353

10-4 线性多步法导出的其它途径 355

一、利用数值积分构造线性多步法 356

二、利用数值微分构造线性多步法 360

10-5 线性多步法的误差 361

一、局部截断误差 361

二、整体截断误差 362

三、舍入误差和积累误差 363

四、局部截断误差界 364

10-6 线性多步法的收敛性 368

一、常系数线性差分方程 368

二、收敛性的必要条件 371

三、收敛性的充要条件 373

10-7 线性多步法的稳定性 374

一、差分方程解的性态 374

二、积累误差的性态 376

三、稳定性定义 378

四、积累误差的界与估计 380

10-8 预测校正法 381

一、迭代的收敛性 382

二、预测与校正 382

三、局部截断误差估计 385

四、Hamming 方法 386

五、Adams—Bashforth-Moulton 预测校正法 387

10-9 起动计算与改变步长 388

一、起动计算 388

二、改变步长 389

10-10 Runge-Kutta 390

一、Runge-Kutta 法的导出 390

二、局部截断误差的实用估计 394

三、Runge-Kutta 法的稳定性 395

四、R-K法和预测校正法的比较 396

10-11 高阶方程和方程组 397

10-12 刚性方程 400

习题 405

参考文献 411