1.导论 1
1.1.要解决的问题 1
1.2.数值近似解 8
1.3.例子--Euler方法 11
1.3.1.误差估计 15
1.3.2.误差估计与实际误差的比较 17
1.3.3.稳定性 19
1.3.4.舍入误差 21
1.3.5.由数值近似产生的扰动 24
问题 27
2.高阶单步方法 30
2.1.Taylor级数方法 30
2.2.Richardson外插法(h=0) 31
2.3.二阶Runge-Kutta方法 32
2.4.显式Runge-Kutta方法 37
2.4.1.经典的Runge-Kutta方法 42
2.4.2.Ralston Runge-Kutta方法 43
2.4.3 Butcher关于Runge-Kutta方法可达到阶的结果 44
2.5 隐式Runge-Kutta方法 45
2.5.1 隐式Runge-Kutta方法的实际应用 48
2.6 收敛性和稳定性 49
2.6.1.显式Runge-Kutta方法的稳定区域 50
2.6.2.隐式Runge-Kutta方法的稳定区域 52
问题 53
3.方程组和高阶方程 55
3.1.单步方法应用于方程组 56
3.2.高阶方程简化为一阶方程组 57
3.3.高阶方程的直接方法 58
3.3.1.Taylor级数方法 58
3.3.2.Runge-Kutta方法 59
问题 62
4.单步方法的收敛性、误差界和误差估计 63
4.1.向量和矩阵模 64
4.2.存在性和Lipschitz条件 66
4.3.收敛性和稳定性 67
4.4.误差界和收敛的阶 72
4.5.渐近误差的估计 74
4.5.1.由数值近似产生的扰动 78
4.6.误差界和估计定理的一般应用 80
4.6.1.Taylor级数方法 81
4.6.2.Runge-Kutta方法 82
4.6.3.对连续导数的要求 83
4.7.变步长 83
问题 85
5.步长和阶的选取 87
5.1.阶的选取 88
5.2.步长的选取 92
5.3.误差的实际控制 95
5.4.局部截断误差的估计 97
5.4.1.步数加倍 98
5.4.2.Runge-Kutta-Merson方法 102
问题 103
6.外插方法 105
6.1.多项式外插 105
6.1.1.多项式外插的例 107
6.1.2.舍入误差的影响 107
6.1.3.稳定性 110
6.1.4.高阶方法 110
6.2.有理函数外插 112
问题 121
7.1.多值方法 122
7.多值或多步方法--导论 122
7.2.显式多步方法--Adams-Bashforth方法 124
7.2.1.系数的生成函数 129
7.2.2.推导Adams-Bashforth方法的另外两个办法 131
7.2.3.Adams-Bashforth方法的截断误差 132
7.3.隐式多步方法--Adams-Moulton方法 134
7.4.预估-校正方法 137
问题 138
8.一般的多步方法、阶和稳定性 140
8.1.多步方法的阶 141
8.1.1.给定α，β的一个确定另一个 144
8.1.2.方法的主根 146
8.2.Milne方法 147
8.2.1.对于y =λy Milne方法的稳定性 149
8.3.一般的多步方法的稳定性 151
8.3.1.绝对稳定性 153
8.4.四阶三步方法类 160
问题 163
9.多值方法 165
9.1.误差的性态 166
9.1.1.预估-校正方法的稳定性 167