前言 1
第一章 绪论 1
1 基本概念 1
1.1 定义与例子 1
1.2 迭加原理 3
2 定解问题及其适定性概念 4
2.1 定解条件与定解问题 4
2.2 适定性概念 6
3 二阶半线性方程的分类 标准型 8
3.1 多个自变量情形 8
3.2 两个自变量的二阶半线性方程化为标准型 10
4 一阶拟线性方程 18
4.1 特征线曲与积分曲面 18
4.2 Cauchy问题 19
习题 24
1.1 单重积分情形 26
1 变分问题 26
第二章 定解问题的导出 26
1.2 多重积分情形 30
1.3 变分原理 33
习题 34
2 几个典型方程的导出 35
2.1 均匀弦的横振动 35
2.2 均匀膜的横振动 37
2.3 位势方程 38
2.4 热传导方程 39
习题 42
第三章 波动方程 44
1 弦振动方程的Cauchy问题 44
1.1 D’Alembert公式 44
1.2 广义解 46
1.3 波的传播 依赖区域、决定区域和影响区域 47
1.4 混合问题的特征线法 49
习题 51
2.1 分离变量法 53
2 有界弦的振动 分离变量法 53
2.2 解的存在性 56
2.3 解的物理意义 57
2.4 解非齐次方程的固有函数法 58
2.5 边界条件的齐次化 60
3 Sturm-Liouville固有值理论 62
3.1 固有函数的性质 62
3.2 固有值与固有函数的存在性 64
3.3 固有函数系的完备性 69
习题 77
4 高维波动方程的Cauchy问题 80
4.1 球面平均法 Poisson公式 80
4.2 二维波动方程的Cauchy问题 降维法 84
4.3 依赖区域、决定区域和影响区域 86
4.4 非齐次方程 推迟势 87
4.5 Huygens原理 波的弥散 90
习题 92
5 能量积分 解的唯一性与稳定性 93
5.1 薄膜振动的动能和位能 94
5.2 能量等式 混合问题解的唯一性 95
5.3 能量不等式 混合问题解的稳定性 96
5.4 Cauchy问题解的唯一性 101
习题 101
第四章 热传导方程 105
1 Cauchy问题 105
1.1 Fourier变换及其性质 105
1.2 Cauchy问题的求解 109
1.3 解的存在性 111
习题 113
2 极值原理 定解问题解的唯一性与稳定性 116
2.1 极值原理 116
2.2 混合问题解的唯一性与稳定性 117
2.3 Cauchy问题解的唯一性与稳定性 118
2.4 例题 120
习题 127
1.1 Green公式 基本解 129
第五章 调和方程 129
1 Green公式及其应用 129
1.2 平均值等式与不等式 132
1.3 极大值和极小值原理 133
1.4 第一边值问题解的唯一性与稳定性 134
习题 136
2 Green函数 138
2.1 Green函数及其性质 138
2.2 求Green函数的镜像法 140
2.3 球上Dirichlet问题解的存在性 143
2.4 调和函数的基本性质 146
2.5 例题 149
习题 155
3 强极值原理 第二边值问题解的唯一性 157
3.1 强极值原理 157
3.2 第二边值问题解的唯一性 159
习题 160
4.1 共轭微分算子与共轭边值问题 161
4 广义解的存在性 161
4.2 弱微商及其简单性质 164
4.3 空间H1与H？Friedrichs不等式 168
4.4 广义解的存在性 170
习题 174
5 数学物理中的变分原理 位势方程的再讨论 175
5.1 正算子与算子方程 175
5.2 正定算子 变分问题广义解的存在性 179
习题 186
6 三个典型方程总结 189
6.1 典型方程的共性 189
6.2 典型方程的个性 190
6.3 适定性问题讨论 192
习题 193
第六章 特征理论 一阶偏微分方程组 194
1 方程的特征理论 194
1.1 弱间断解与弱间断面 194
1.2 特征方程与特征曲面 196
2.1 弱间断解与特征线 201
2 方程组的特征理论 201
2.2 狭义双曲型方程组的标准型 204
3 双曲型方程组的Cauchy问题 206
3.1 解的存在性与唯一性 206
3.2 解的稳定性 209
3.3 依赖区域、决定区域和影响区域 210
习题 211
第七章 Cauchy-Kowalewski定理 215
1 预备知识 215
1.1 C-L型组 215
1.2 Cauchy问题的化简 216
1.3 强函数 219
2 C-K定理的证明 220
习题 223
1 基本空间 226
1.1 引言 226
第八章 广义函数与基本解 226
1.2 基本空间？(RN)和？(RN) 228
1.3 基本空间？(RN)及其上的Fourier变换 231
2 广义函数空间 238
2.1 概念与例子 238
2.2 广义函数的收敛性 240
2.3 自变量的变换 242
2.4 广义函数的微商与乘子 244
2.5 广义函数的支集 247
2.6 广义函数的卷积 249
2.7 ？空间上的Fourier变换 254
3 基本解 257
3.1 基本解的概念 257
3.2 热传导方程及其Cauchy问题的基本解 260
3.3 波动方程Cauchy问题的基本解 262
3.4 调和、重调和及多调和算子的基本解 264
习题 267
参考文献 273