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前言 1

第一章 绪论 1

1 基本概念 1

1.1 定义与例子 1

1.2 迭加原理 3

2 定解问题及其适定性概念 4

2.1 定解条件与定解问题 4

2.2 适定性概念 6

3 二阶半线性方程的分类 标准型 8

3.1 多个自变量情形 8

3.2 两个自变量的二阶半线性方程化为标准型 10

4 一阶拟线性方程 18

4.1 特征线曲与积分曲面 18

4.2 Cauchy问题 19

习题 24

1.1 单重积分情形 26

1 变分问题 26

第二章 定解问题的导出 26

1.2 多重积分情形 30

1.3 变分原理 33

习题 34

2 几个典型方程的导出 35

2.1 均匀弦的横振动 35

2.2 均匀膜的横振动 37

2.3 位势方程 38

2.4 热传导方程 39

习题 42

第三章 波动方程 44

1 弦振动方程的Cauchy问题 44

1.1 D’Alembert公式 44

1.2 广义解 46

1.3 波的传播 依赖区域、决定区域和影响区域 47

1.4 混合问题的特征线法 49

习题 51

2.1 分离变量法 53

2 有界弦的振动 分离变量法 53

2.2 解的存在性 56

2.3 解的物理意义 57

2.4 解非齐次方程的固有函数法 58

2.5 边界条件的齐次化 60

3 Sturm-Liouville固有值理论 62

3.1 固有函数的性质 62

3.2 固有值与固有函数的存在性 64

3.3 固有函数系的完备性 69

习题 77

4 高维波动方程的Cauchy问题 80

4.1 球面平均法 Poisson公式 80

4.2 二维波动方程的Cauchy问题 降维法 84

4.3 依赖区域、决定区域和影响区域 86

4.4 非齐次方程 推迟势 87

4.5 Huygens原理 波的弥散 90

习题 92

5 能量积分 解的唯一性与稳定性 93

5.1 薄膜振动的动能和位能 94

5.2 能量等式 混合问题解的唯一性 95

5.3 能量不等式 混合问题解的稳定性 96

5.4 Cauchy问题解的唯一性 101

习题 101

第四章 热传导方程 105

1 Cauchy问题 105

1.1 Fourier变换及其性质 105

1.2 Cauchy问题的求解 109

1.3 解的存在性 111

习题 113

2 极值原理 定解问题解的唯一性与稳定性 116

2.1 极值原理 116

2.2 混合问题解的唯一性与稳定性 117

2.3 Cauchy问题解的唯一性与稳定性 118

2.4 例题 120

习题 127

1.1 Green公式 基本解 129

第五章 调和方程 129

1 Green公式及其应用 129

1.2 平均值等式与不等式 132

1.3 极大值和极小值原理 133

1.4 第一边值问题解的唯一性与稳定性 134

习题 136

2 Green函数 138

2.1 Green函数及其性质 138

2.2 求Green函数的镜像法 140

2.3 球上Dirichlet问题解的存在性 143

2.4 调和函数的基本性质 146

2.5 例题 149

习题 155

3 强极值原理 第二边值问题解的唯一性 157

3.1 强极值原理 157

3.2 第二边值问题解的唯一性 159

习题 160

4.1 共轭微分算子与共轭边值问题 161

4 广义解的存在性 161

4.2 弱微商及其简单性质 164

4.3 空间H1与H？Friedrichs不等式 168

4.4 广义解的存在性 170

习题 174

5 数学物理中的变分原理 位势方程的再讨论 175

5.1 正算子与算子方程 175

5.2 正定算子 变分问题广义解的存在性 179

习题 186

6 三个典型方程总结 189

6.1 典型方程的共性 189

6.2 典型方程的个性 190

6.3 适定性问题讨论 192

习题 193

第六章 特征理论 一阶偏微分方程组 194

1 方程的特征理论 194

1.1 弱间断解与弱间断面 194

1.2 特征方程与特征曲面 196

2.1 弱间断解与特征线 201

2 方程组的特征理论 201

2.2 狭义双曲型方程组的标准型 204

3 双曲型方程组的Cauchy问题 206

3.1 解的存在性与唯一性 206

3.2 解的稳定性 209

3.3 依赖区域、决定区域和影响区域 210

习题 211

第七章 Cauchy-Kowalewski定理 215

1 预备知识 215

1.1 C-L型组 215

1.2 Cauchy问题的化简 216

1.3 强函数 219

2 C-K定理的证明 220

习题 223

1 基本空间 226

1.1 引言 226

第八章 广义函数与基本解 226

1.2 基本空间？(RN)和？(RN) 228

1.3 基本空间？(RN)及其上的Fourier变换 231

2 广义函数空间 238

2.1 概念与例子 238

2.2 广义函数的收敛性 240

2.3 自变量的变换 242

2.4 广义函数的微商与乘子 244

2.5 广义函数的支集 247

2.6 广义函数的卷积 249

2.7 ？空间上的Fourier变换 254

3 基本解 257

3.1 基本解的概念 257

3.2 热传导方程及其Cauchy问题的基本解 260

3.3 波动方程Cauchy问题的基本解 262

3.4 调和、重调和及多调和算子的基本解 264

习题 267

参考文献 273