第七章 多元函数微分法及其应用 1
第一节 多元函数的基本概念 1
一、区域 1
二、多元函数概念 4
三、多元函数的极限与连续 9
习题7—1 15
第二节 偏导数与全微分 18
一、偏导数概念与计算 18
习题7-2(1) 27
二、全微分 29
习题7-2(2) 40
三、方向导数 42
习题7-2(3) 48
第三节 多元复合函数的微分法 49
一、全导数 49
二、复合函数微分法 53
三、全微分形式的不变 62
习题7-3 64
第四节 隐函数及其微分法 66
一、一个方程的情形 66
二、方程组的情形 70
习题7-4 77
第五节 偏导数的几何应用 79
一、空间曲线的切线与法平面 79
二、曲面的切平面与法线 85
习题7-5 91
第六节 多元函数的极值及其求法 92
一、多元函数的极值与最大值、最小值 92
二、条件极值拉格朗日乘数法 99
习题7-6 105
第七节 二元函数的泰勒公式 106
习题7-7 112
复习题 113
第八章 重积分 117
第一节 二重积分的概念与性质 117
一、二重积分的概念 117
二、二重积分的性质 122
习题8-1 124
第二节 利用直角坐标计算二重积分 127
习题8-2 139
第三节 利用极坐标计算二重积分 142
一、极点在区域D的外部(图8-17) 143
二、极点在积分区域的边界上(图8-18) 144
三、极点在积分区域D的内部(图8-19) 145
习题8—3 150
第四节 二重积分的换元法 153
习题8-4 158
第五节 二重积分的应用 159
一、曲面的面积 159
二、平面薄片的重心 164
三、平面薄片的转动惯量 167
四、平面薄片对质点的引力 168
习题8-5 171
第六节 三重积分的概念及计算法 172
习题8-6 178
第七节 利用柱、球面坐标计算三重积分 181
一、利用柱面坐标计算三重积分 181
二、利用球面坐标计算三重积分 184
习题8-7 192
第八节 含参变量的积分 195
习题8-8 201
复习题 203
一、第一型曲线积分的概念和性质 204
第九章 曲线积分与曲面积分 204
第一节 第一型曲线积分(对弧长的曲线积分) 204
二、第一型曲线积分的计算法 207
习题9-1 211
第二节 第二型曲线积分 212
一、第二型曲线积分的概念与性质 212
二、第二型曲线积分的计算法 215
三、两类曲线积分之间的关系 220
习题9-2 222
第三节 格林公式 223
第四节 平面曲线积分与积分路径无关的条件 230
习题9-3 230
习题9-4 237
第五节 第一型曲面积分 238
一、第一型曲面积分的概念和性质 238
二、第一型曲面积分的计算法 240
习题9-5 243
第六节 第二型曲面积分 244
一、第二型曲面积分的概念和性质 244
二、第二型曲面积分的计算法 248
习题9-6 253
第七节 高斯公式与斯托克斯公式 254
一、高斯公式 254
二、斯托克斯公式 260
习题9-7 267
第八节 场论简介 269
一、场的概念 269
二、方向导数与梯度 271
三、流量与散度 276
四、环量与旋度 280
习题9-8 285
复习题 287
第十章 无穷级数 289
第一节 无穷级数的基本概念及性质 289
一、无穷级数的基本概念 289
二、级数的基本性质 294
习题10-1 299
第二节 正项级数的审敛法 300
一、比较审敛法 303
二、比值审敛法 306
三、根值判别法 309
习题10-2 310
一、交错级数及其审敛法 311
第三节 任意项级数的敛散性 311
二、任意项级数的绝对收敛与条件收敛 313
习题10-3 318
第四节 幂级数 319
一、函数项级数的一般概念 319
二、幂级数及其收敛区间 320
三、幂级数的性质与运算 327
习题10-4 330
一、泰勒级数 332
第五节 函数的幂级数展开式 332
二、函数的幂级数的展开式 336
习题10-5 344
第六节 幂级数的应用 344
一、函数的近似公式 344
二、近似计算 345
三、尤拉公式 348
习题10-6 350
第七节 周期函数的傅立叶级数 350
一、三角函数系的正交性 350
二、周期函数的傅立叶级数 354
习题10-7 366
第八节 正弦级数和余弦级数 368
一、奇、偶函数的傅立叶级数 368
二、函数展开成正弦或余弦级数 374
习题10-8 380
复习题 381
第十一章 微分方程 383
第一节 微分方程的基本概念 383
习题11-1 388
第二节 可分离变量的微分方程 389
习题11-2 394
第三节 齐次方程 395
一、齐次方程 395
二、可化为齐次方程的方程 400
习题11-3 403
第四节 一阶线性微分方程 404
一、一阶线性微分方程 404
二、贝努利方程 409
习题11-4 411
一、全微分方程 413
二、积分因子 414
习题11-5 417
第六节 可降阶的高阶微分方程 417
第五节 全微分方程 418
一、yn＝f(x)型的微分方程 418
二、y ＝f(x，y )型的微分方程 418
三、y ＝f(y，y )型的微分方程 422
习题11-6 425
第七节 二阶线性微分方程解的结构 427
第八节 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 431
习题11-7 431
习题11-8 443
第九节 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 444
一、f(x)＝e~(λx)P_m(x)型 444
二、f(x)＝e~(λx)[P_o(x)cosωx＋P_n(x)sinroωx]型 448
习题11-9 455
第十节 尤拉方程 457
习题11-10 459
第十一节 微分方程的幂级数解法举例 459
习题11-11 463
复习题 464