第一部分 复变函数 1
第一章 复数和复变函数 1
1.1 复数及其运算规则 1
1.2 复数的几何表示 2
1.3 复数序列 7
1.4 复变函数 9
1.5 复变函数的极限和连续 10
1.6 无穷远点 11
1.7 正十七边形问题 13
第二章 解析函数 15
2.1 导数 15
2.2 解析函数 17
2.3 初等函数 20
2.4 多值函数 23
2.5 解析函数的变换性质 30
第三章 复变积分 38
3.1 复变积分 38
3.2 单连通区域的Cauchy定理 40
3.3 复连通区域的Cauchy定理 45
3.4 Cauchy积分公式 47
3.5 解析函数的高阶导数 50
3.6 Cauchy积分公式的几个重要推论 52
3.7 Poisson公式 55
第四章 无穷级数 59
4.1 复数级数 59
4.2 二重级数 63
4.3 函数级数 65
4.4 幂级数 70
4.5 含参量的积分的解析性 73
4.6 Euler求和公式 76
4.7 发散级数与渐近级数 80
第五章 解析函数的局域性展开 87
5.1 解析函数的Taylor展开 87
5.2 Taylor级数求法举例 90
5.3 解析函数的Laurent展开 94
5.4 Laurent级数求法举例 97
5.5 单值函数的孤立奇点 101
5.6 Bernoulli数和Euler数 105
5.7 整函数和亚纯函数 108
第六章 二阶线性常微分方程的幂级数解法 109
6.1 二阶线性常微分方程的常点和奇点 109
6.2 方程常点领域内的解 111
6.3 方程正则奇点领域内的解 115
6.4 Bessel方程的解 119
6.5 方程非正则奇点附近的解 131
第七章 解析延拓 137
7.1 解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 137
7.2 解析延拓 140
第八章 留数定理及其应用 145
8.1 留数定理 145
8.2 有理三角函数的积分 150
8.3 无穷积分 152
8.4 含三角函数的无穷积分 157
8.5 实轴上有奇点的情形 160
8.6 多值函数的积分 165
8.7 应用留数定理计算无穷级数的和 170
8.8 留数定理的其他应用 175
第九章 Γ函数 177
9.1 Γ函数的定义 177
9.2 Γ函数的基本性质 179
9.3 Γ函数值的计算 182
9.4 Ψ函数 182
9.5 B函数 186
9.6 Γ函数的无穷乘积表示 188
9.7 Γ函数的渐近展开 194
9.8 几个特殊函数公式的订正 197
9.9 Riemann？函数和Mǒbius变换 200
第十章 Laplace变换 205
10.1 Laplace变换 205
10.2 Laplace变换的基本性质 206
10.3 Laplace变换的反演 211
10.4 普遍反演公式 216
10.5 利用Laplace变换计算级数和 223
第十一章 δ函数 229
11.1 δ函数 229
11.2 利用δ函数计算定积分 234
11.3 常微分方程初值问题的Green函数 238
11.4 常微分方程边值问题的Green函数 247
第二部分 数学物理方程 253
第十二章 数学物理方程和定解条件 253
12.1 弦的横振动方程 254
12.2 杆的纵振动方程 256
12.3 热传导方程 257
12.4 稳定问题 260
12.5 边界条件与初始条件 261
12.6 内部界面上的连接条件 265
12.7 定解问题的适定性 267
第十三章 线性偏微分方程的通解 269
13.1 线性偏微分方程解的叠加性 269
13.2 常系数线性齐次偏微分方程的通解 271
13.3 常系数线性非齐次偏微分方程的通解 273
13.4 特殊的变系数线性齐次偏微分方程 280
13.5 波动方程的行波解 281
13.6 波的耗散和色散 283
13.7 热传导方程的定性讨论 287
13.8 Laplace方程的定性讨论 289
第十四章 分离变量法 291
14.1 两端固定弦的自由振动 291
14.2 矫形区域内的稳定问题 302
14.3 多于两个自变量的定解问题 306
14.4 两端固定弦的强迫振动 310
14.5 非齐次边界条件的齐次化 320
第十五章 正交曲面坐标系 329
15.1 正交曲面坐标系 329
15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符 331
15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性 334
15.4 圆形区域 339
15.5 Helmholtz方程在柱坐标系下的分离变量 347
15.6 Helmholtz方程在球坐标系下的分离变量 348
第十六章 球函数 351
16.1 Legendre方程的解 351
16.2 Legendre多项式 354
16.3 Legendre多项式的微分表示 359
16.4 Legendre多项式的正交完备性 361
16.5 Legendre多项式的生成函数 367
16.6 Legendre多项式的递推关系 370
16.7 Legendre多项式应用举例 373
16.8 圆盘的引力势与静电势 382
16.9 连带Legendre函数 391
16.10 球面调和函数 396
16.11 超几何函数 400
第十七章 柱函数 405
17.1 Bessel函数的基本性质 406
17.2 Neumann函数 413
17.3 柱函数 416
17.4 Bessel方程的本征值问题 417
17.5 含Bessel函数的积分 425
17.6 Hankel函数 431
17.7 虚宗量Bessel函数 435
17.8 Kelvin函数 439
17.9 半奇数阶Bessel函数 439
17.10 Airy函数 442
17.11 球Bessel函数 442
17.12 合流超几何函数 446
附录 涉及Bessel函数的常微分方程 449
第十八章 分离变量法总结 453
18.1 内积空间 453
18.2 函数空间 460
18.3 自伴算符的本征值总是 465
18.4 Sturm Liouville型方程的本征值问题 470
18.5 Sturm-Liouville型方程本征值问题的简并现象 474
18.6 从Sturm-Liouville型方程本征值问题看分离变量法 476
18.7 关于正交多项式的一般讨论 481
第十九章 积分变换的应用 489
19.1 Laplace变换 489
19.2 Fourier变换 495
19.3 半无界空间的情形 499
19.4 关于积分变换的一般讨论 503
19.5 小波变换简介 508
第二十章 Green函数方法 515
20.1 Green函数的概念 515
20.2 稳定问题Green函数的一般性质 519
20.3 三维无界空间Helmholtz方程的Green函数 523
20.4 圆内Poisson方程第一边值问题的Green函数 528
20.5 三维调和函数的均值定理与极值原理 537
20.6 波动方程的Green函数 539
20.7 热传导方程的Green函数 547
第二十一章 变分法初步 551
21.1 泛函的概念 551
21.2 泛函的极值 553
21.3 泛函的条件极值 560
21.4 微分方程定解问题和本征值问题的变分形式 564
21.5 变边值问题 568
21.6 Rayleigh-Ritz方法 570
第二十二章 数学物理方程综述 576
22.1 二阶线性偏微分方程的分类 576
22.2 线性偏微分方程解法述评 582
22.3 非线性偏微分方程问题 585
22.4 结束语 591
参考书目 592
外国人名译名对照表 594