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第一部分 复变函数 1

第一章 复数和复变函数 1

1.1 复数及其运算规则 1

1.2 复数的几何表示 2

1.3 复数序列 7

1.4 复变函数 9

1.5 复变函数的极限和连续 10

1.6 无穷远点 11

1.7 正十七边形问题 13

第二章 解析函数 15

2.1 导数 15

2.2 解析函数 17

2.3 初等函数 20

2.4 多值函数 23

2.5 解析函数的变换性质 30

第三章 复变积分 38

3.1 复变积分 38

3.2 单连通区域的Cauchy定理 40

3.3 复连通区域的Cauchy定理 45

3.4 Cauchy积分公式 47

3.5 解析函数的高阶导数 50

3.6 Cauchy积分公式的几个重要推论 52

3.7 Poisson公式 55

第四章 无穷级数 59

4.1 复数级数 59

4.2 二重级数 63

4.3 函数级数 65

4.4 幂级数 70

4.5 含参量的积分的解析性 73

4.6 Euler求和公式 76

4.7 发散级数与渐近级数 80

第五章 解析函数的局域性展开 87

5.1 解析函数的Taylor展开 87

5.2 Taylor级数求法举例 90

5.3 解析函数的Laurent展开 94

5.4 Laurent级数求法举例 97

5.5 单值函数的孤立奇点 101

5.6 Bernoulli数和Euler数 105

5.7 整函数和亚纯函数 108

第六章 二阶线性常微分方程的幂级数解法 109

6.1 二阶线性常微分方程的常点和奇点 109

6.2 方程常点领域内的解 111

6.3 方程正则奇点领域内的解 115

6.4 Bessel方程的解 119

6.5 方程非正则奇点附近的解 131

第七章 解析延拓 137

7.1 解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 137

7.2 解析延拓 140

第八章 留数定理及其应用 145

8.1 留数定理 145

8.2 有理三角函数的积分 150

8.3 无穷积分 152

8.4 含三角函数的无穷积分 157

8.5 实轴上有奇点的情形 160

8.6 多值函数的积分 165

8.7 应用留数定理计算无穷级数的和 170

8.8 留数定理的其他应用 175

第九章 Γ函数 177

9.1 Γ函数的定义 177

9.2 Γ函数的基本性质 179

9.3 Γ函数值的计算 182

9.4 Ψ函数 182

9.5 B函数 186

9.6 Γ函数的无穷乘积表示 188

9.7 Γ函数的渐近展开 194

9.8 几个特殊函数公式的订正 197

9.9 Riemann？函数和Mǒbius变换 200

第十章 Laplace变换 205

10.1 Laplace变换 205

10.2 Laplace变换的基本性质 206

10.3 Laplace变换的反演 211

10.4 普遍反演公式 216

10.5 利用Laplace变换计算级数和 223

第十一章 δ函数 229

11.1 δ函数 229

11.2 利用δ函数计算定积分 234

11.3 常微分方程初值问题的Green函数 238

11.4 常微分方程边值问题的Green函数 247

第二部分 数学物理方程 253

第十二章 数学物理方程和定解条件 253

12.1 弦的横振动方程 254

12.2 杆的纵振动方程 256

12.3 热传导方程 257

12.4 稳定问题 260

12.5 边界条件与初始条件 261

12.6 内部界面上的连接条件 265

12.7 定解问题的适定性 267

第十三章 线性偏微分方程的通解 269

13.1 线性偏微分方程解的叠加性 269

13.2 常系数线性齐次偏微分方程的通解 271

13.3 常系数线性非齐次偏微分方程的通解 273

13.4 特殊的变系数线性齐次偏微分方程 280

13.5 波动方程的行波解 281

13.6 波的耗散和色散 283

13.7 热传导方程的定性讨论 287

13.8 Laplace方程的定性讨论 289

第十四章 分离变量法 291

14.1 两端固定弦的自由振动 291

14.2 矫形区域内的稳定问题 302

14.3 多于两个自变量的定解问题 306

14.4 两端固定弦的强迫振动 310

14.5 非齐次边界条件的齐次化 320

第十五章 正交曲面坐标系 329

15.1 正交曲面坐标系 329

15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符 331

15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性 334

15.4 圆形区域 339

15.5 Helmholtz方程在柱坐标系下的分离变量 347

15.6 Helmholtz方程在球坐标系下的分离变量 348

第十六章 球函数 351

16.1 Legendre方程的解 351

16.2 Legendre多项式 354

16.3 Legendre多项式的微分表示 359

16.4 Legendre多项式的正交完备性 361

16.5 Legendre多项式的生成函数 367

16.6 Legendre多项式的递推关系 370

16.7 Legendre多项式应用举例 373

16.8 圆盘的引力势与静电势 382

16.9 连带Legendre函数 391

16.10 球面调和函数 396

16.11 超几何函数 400

第十七章 柱函数 405

17.1 Bessel函数的基本性质 406

17.2 Neumann函数 413

17.3 柱函数 416

17.4 Bessel方程的本征值问题 417

17.5 含Bessel函数的积分 425

17.6 Hankel函数 431

17.7 虚宗量Bessel函数 435

17.8 Kelvin函数 439

17.9 半奇数阶Bessel函数 439

17.10 Airy函数 442

17.11 球Bessel函数 442

17.12 合流超几何函数 446

附录 涉及Bessel函数的常微分方程 449

第十八章 分离变量法总结 453

18.1 内积空间 453

18.2 函数空间 460

18.3 自伴算符的本征值总是 465

18.4 Sturm Liouville型方程的本征值问题 470

18.5 Sturm-Liouville型方程本征值问题的简并现象 474

18.6 从Sturm-Liouville型方程本征值问题看分离变量法 476

18.7 关于正交多项式的一般讨论 481

第十九章 积分变换的应用 489

19.1 Laplace变换 489

19.2 Fourier变换 495

19.3 半无界空间的情形 499

19.4 关于积分变换的一般讨论 503

19.5 小波变换简介 508

第二十章 Green函数方法 515

20.1 Green函数的概念 515

20.2 稳定问题Green函数的一般性质 519

20.3 三维无界空间Helmholtz方程的Green函数 523

20.4 圆内Poisson方程第一边值问题的Green函数 528

20.5 三维调和函数的均值定理与极值原理 537

20.6 波动方程的Green函数 539

20.7 热传导方程的Green函数 547

第二十一章 变分法初步 551

21.1 泛函的概念 551

21.2 泛函的极值 553

21.3 泛函的条件极值 560

21.4 微分方程定解问题和本征值问题的变分形式 564

21.5 变边值问题 568

21.6 Rayleigh-Ritz方法 570

第二十二章 数学物理方程综述 576

22.1 二阶线性偏微分方程的分类 576

22.2 线性偏微分方程解法述评 582

22.3 非线性偏微分方程问题 585

22.4 结束语 591

参考书目 592

外国人名译名对照表 594