第一章 函数与极限 1
第一节 函数 1
一、集合 1
二、区间和邻域 2
三、函数的概念 2
四、函数的几种特性 4
五、反函数与复合函数 6
六、初等函数 7
习题1-1 10
第二节 数列的极限 11
一、数列极限的定义 11
二、收敛数列的性质 13
习题1-2 15
第三节 函数的极限 15
一、函数极限的定义 15
二、函数极限的性质 19
习题1-3 20
第四节 无穷小量与无穷大量 20
一、无穷小量 20
二、无穷大量 21
习题1-4 22
第五节 极限运算法则 22
一、数列极限的四则运算 22
二、函数极限的四则运算法则 24
三、无穷小量的运算法则 24
四、复合函数的极限运算法则 26
习题1-5 27
第六节 极限存在准则 两个重要极限公式 28
习题1-6 31
第七节 无穷小的比较 32
习题1-7 34
第八节 函数的连续性与间断点 35
一、函数的连续性 35
二、函数的间断点 37
习题1-8 38
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 38
一、连续函数的四则运算的连续性 38
二、反函数与复合函数的连续性 39
三、初等函数的连续性 40
习题1-9 41
第十节 闭区间上连续函数的性质 42
习题1-10 44
第十一节 数学模型 44
习题1-11 47
本章复习题A 48
本章复习题B 49
第二章 导数与微分 51
第一节 导数概念 51
一、引例 51
二、导数的定义 52
三、导数的几何意义 55
四、函数可导性与连续性的关系 56
习题2-1 57
第二节 函数的求导法则 58
一、函数的和、差、积、商的求导法则 58
二、反函数的求导法则 60
三、复合函数的求导法则 61
四、基本求导法则与导数公式 64
习题2-2 65
第三节 高阶导数 66
一、高阶导数的定义 66
二、一些常见函数的高阶导数公式 67
习题2-3 69
第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 69
一、隐函数的导数 69
二、由参数方程所确定的函数的导数 72
三、相关变化率 74
习题2-4 76
第五节 函数的微分 77
一、微分的定义 77
二、微分的几何意义 78
三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 78
四、微分在近似计算中的应用 80
习题2-5 81
第六节 数学模型 82
习题2-6 84
本章复习题A 84
本章复习题B 85
第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理 87
一、函数的极值 87
二、微分中值定理 88
习题3-1 92
第二节 泰勒公式 93
习题3-2 97
第三节 洛必达法则 98
一、0/0型未定式的洛必达法则 98
二、∞/∞型未定式的洛必达法则 99
三、其他类型的未定式 100
习题3-3 102
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 103
一、函数单调性的判定法 103
二、曲线的凹凸性及拐点 105
习题3-4 108
第五节 函数的极值与最大值、最小值 108
一、函数的极值 108
二、最值问题 111
习题3-5 113
第六节 函数图形的描绘 114
一、曲线的渐近线 114
二、函数图形的描绘 115
习题3-6 117
第七节 曲率 117
一、弧微分 117
二、曲率及其计算公式 118
三、曲率半径与曲率圆 120
习题3-7 121
第八节 数学模型 122
习题3-8 123
本章复习题A 123
本章复习题B 125
第四章 不定积分 127
第一节 不定积分的概念与性质 127
一、原函数与不定积分的概念 127
二、基本积分表 128
三、不定积分的性质 129
习题4-1 130
第二节 换元积分法 131
一、第一类换元积分法 131
二、第二类换元积分法 134
习题4-2 137
第三节 分部积分法 138
习题4-3 141
第四节 几种特殊类型函数的积分 141
一、有理函数的积分 141
二、可化为有理函数的积分举例 145
习题4-4 147
第五节 积分表的使用 147
习题4-5 148
第六节 数学模型 148
本章复习题A 149
本章复习题B 149
第五章 定积分及其应用 151
第一节 定积分的概念与性质 151
一、引例 151
二、定积分的定义 152
三、定积分的性质 155
习题5-1 157
第二节 微积分基本公式 158
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 158
二、积分上限的函数及其导数 158
三、牛顿—莱布尼兹公式 160
习题5-2 161
第三节 定积分的换元法和分部积分法 162
一、定积分的换元积分法 162
二、定积分的分部积分法 164
习题5-3 166
第四节 广义积分 167
一、无穷限的广义积分 167
二、无界函数的广义积分 168
习题5-4 170
第五节 定积分的元素法及其应用 171
一、定积分的元素法 171
二、定积分在几何学上的应用 172
三、定积分在物理学上的应用 176
习题5-5 179
第六节 数学模型 180
习题5-6 181
本章复习题A 181
本章复习题B 182
第六章 向量代数与空间解析几何第一节 向量及其线性运算 184
一、向量的概念 184
二、向量的线性运算 185
三、空间直角坐标系 187
四、利用坐标作向量的线性运算 188
五、向量的模、方向角、投影 189
习题6-1 191
第二节 数量积 向量积 混合积 193
一、向量的数量积 193
二、向量的向量积 194
三、向量的混合积 196
习题6-2 198
第三节 曲面及其方程 198
一、曲面方程的概念 198
二、旋转曲面 200
三、柱面 201
四、二次曲面 202
习题6-3 204
第四节 空间曲线及其方程 205
一、空间曲线的一般方程 205
二、空间曲线的参数方程 205
三、曲面的参数方程 206
四、空间曲线在坐标面上的投影 207
习题6-4 208
第五节 平面及其方程 209
一、平面的点法式方程 209
二、平面的一般方程 210
三、两平面的夹角 211
习题6-5 213
第六节 空间直线及其方程 213
一、空间直线的一般方程 213
二、空间直线的对称式方程与参数方程 214
三、两直线的夹角 216
四、直线与平面的夹角 216
五、平面束 217
习题6-6 218
第七节 数学模型 219
习题6-7 222
本章复习题A 222
本章复习题B 223
第七章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念 225
一、平面点集 n维空间 225
二、多元函数的概念 227
三、多元函数的极限 229
四、多元函数的连续性 231
习题7-1 233
第二节 偏导数 234
一、偏导数的定义及其计算方法 234
二、高阶偏导数 237
习题7-2 239
第三节 全微分 240
一、全微分的定义 240
二、全微分的存在条件 240
习题7-3 243
第四节 多元复合函数的求导法则 243
一、多元复合函数的求导法则 243
二、全微分的形式不变性 247
习题7-4 248
第五节 隐函数的求导公式 249
一、一个方程的情形 249
二、方程组的情形 251
习题7-5 253
第六节 多元微分学在几何上的应用 253
一、空间曲线的切线与法平面 253
二、曲面的切平面与法线 256
习题7-6 258
第七节 方向导数与梯度 259
一、方向导数 259
二、梯度 261
习题7-7 262
第八节 多元函数的极值及其求法 263
一、多元函数的极值 263
二、条件极值 拉格朗日乘数法 267
习题7-8 269
第九节 数学模型 270
一、最优化模型 270
二、最小二乘法模型 271
习题7-9 273
本章复习题A 273
本章复习题B 274
第八章 重积分 276
第一节 二重积分的概念与性质 276
一、二重积分的概念 276
二、二重积分的性质 278
习题8-1 279
第二节 二重积分的计算方法 280
一、利用直角坐标计算二重积分 280
二、利用极坐标计算二重积分 285
习题8-2 288
第三节 三重积分 290
一、三重积分的概念 290
二、三重积分的计算 291
习题8-3 295
第四节 重积分的应用 296
一、曲面的面积 296
二、质心 298
三、转动惯量 299
四、引力 300
习题8-4 302
第五节 数学模型 303
习题8-5 304
本章复习题A 305
本章复习题B 307
第九章 曲线积分与曲面积分 309
第一节 对弧长的曲线积分 309
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 309
二、对弧长的曲线积分的计算 311
习题9-1 312
第二节 对坐标的曲线积分 313
一、对坐标的曲线积分的概念与性质 313
二、对坐标的曲线积分的计算 315
三、两类曲线积分之间的联系 317
习题9-2 318
第三节 格林公式 318
一、格林公式 318
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 322
三、二元函数的全微分求积 323
习题9-3 326
第四节 对面积的曲面积分 327
一、对面积的曲面积分的概念与性质 327
二、对面积的曲面积分的计算 328
习题9-4 330
第五节 对坐标的曲面积分 330
一、对坐标的曲面积分的概念与性质 330
二、对坐标的曲面积分的计算 334
三、两类曲面积分之间的联系 335
习题9-5 337
第六节 高斯公式 斯托克斯公式 337
一、高斯公式 337
二、斯托克斯公式 339
三、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式之间的关系 341
习题9-6 341
第七节 数学模型 342
一、曲线形与曲面形构件质量的数学模型 342
二、变力沿曲线所作功的数学模型 343
三、流向曲面一侧的流量的数学模型 343
四、通量与散度 344
五、环流量与旋度 345
习题9-7 346
本章复习题A 346
本章复习题B 348
第十章 无穷级数 349
第一节 常数项级数的概念与性质 349
一、常数项级数的基本概念 349
二、收敛级数的基本性质 351
习题10-1 353
第二节 常数项级数的审敛法 354
一、正项级数及其审敛法 354
二、交错级数及其审敛法 360
三、绝对收敛与条件收敛 362
习题10-2 364
第三节 幂级数 365
一、函数项级数的概念 365
二、幂级数及其收敛性 366
三、幂级数的运算 369
习题10-3 372
第四节 函数展开成幂级数 372
一、泰勒级数 372
二、函数展开成幂级数 374
习题10-4 378
第五节 函数的幂级数展开式的应用 378
一、近似计算 378
二、欧拉公式 380
习题10-5 381
第六节 傅立叶级数 381
一、三角级数 三角函数系的正交性 382
二、函数展开成傅立叶级数 382
三、正弦级数和余弦级数 387
四、周期为2l的周期函数的傅立叶级数 391
习题10-6 394
第七节 数学模型 394
习题10-7 396
本章复习题A 396
本章复习题B 400
第十一章 微分方程 401
第一节 微分方程的基本概念 401
习题11-1 403
第二节 变量分离方程 403
一、变量分离方程 403
二、齐次方程 405
习题11-2 407
第三节 一阶线性微分方程 407
一、线性微分方程 407
二、伯努利方程 410
习题11-3 411
第四节 全微分方程 411
习题11-4 413
第五节 可降阶的高阶微分方程 414
一、y(n)=f(x)型的微分方程 414
二、y"=f(x,y')型的微分方程 415
三、y"=f(y,y')型的微分方程 416
习题11-5 417
第六节 高阶线性微分方程 418
一、二阶线性微分方程举例 418
二、二阶线性微分方程的解的结构 419
习题11-6 421
第七节 常系数齐次线性微分方程 421
习题11-7 424
第八节 常系数非齐次线性微分方程 424
一、f(x)=eλxPm(x)型 425
二、f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型 427
三、欧拉方程 428
习题11-8 429
第九节 数学模型 430
习题11-9 434
本章复习题A 435
本章复习题B 436
附录1 二阶和三阶行列式简介 437
附录2 极坐标 439
附录3 几种常用的曲线 442
附录4 积分表 444
习题答案与提示 448
参考文献 474