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第一章　函数与极限 1

第一节　函数 1

一、集合 1

二、区间和邻域 2

三、函数的概念 2

四、函数的几种特性 4

五、反函数与复合函数 6

六、初等函数 7

习题1-1 10

第二节　数列的极限 11

一、数列极限的定义 11

二、收敛数列的性质 13

习题1-2 15

第三节　函数的极限 15

一、函数极限的定义 15

二、函数极限的性质 19

习题1-3 20

第四节　无穷小量与无穷大量 20

一、无穷小量 20

二、无穷大量 21

习题1-4 22

第五节　极限运算法则 22

一、数列极限的四则运算 22

二、函数极限的四则运算法则 24

三、无穷小量的运算法则 24

四、复合函数的极限运算法则 26

习题1-5 27

第六节　极限存在准则　两个重要极限公式 28

习题1-6 31

第七节　无穷小的比较 32

习题1-7 34

第八节　函数的连续性与间断点 35

一、函数的连续性 35

二、函数的间断点 37

习题1-8 38

第九节　连续函数的运算与初等函数的连续性 38

一、连续函数的四则运算的连续性 38

二、反函数与复合函数的连续性 39

三、初等函数的连续性 40

习题1-9 41

第十节　闭区间上连续函数的性质 42

习题1-10 44

第十一节　数学模型 44

习题1-11 47

本章复习题A 48

本章复习题B 49

第二章　导数与微分 51

第一节　导数概念 51

一、引例 51

二、导数的定义 52

三、导数的几何意义 55

四、函数可导性与连续性的关系 56

习题2-1 57

第二节　函数的求导法则 58

一、函数的和、差、积、商的求导法则 58

二、反函数的求导法则 60

三、复合函数的求导法则 61

四、基本求导法则与导数公式 64

习题2-2 65

第三节　高阶导数 66

一、高阶导数的定义 66

二、一些常见函数的高阶导数公式 67

习题2-3 69

第四节　隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 69

一、隐函数的导数 69

二、由参数方程所确定的函数的导数 72

三、相关变化率 74

习题2-4 76

第五节　函数的微分 77

一、微分的定义 77

二、微分的几何意义 78

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 78

四、微分在近似计算中的应用 80

习题2-5 81

第六节　数学模型 82

习题2-6 84

本章复习题A 84

本章复习题B 85

第三章　微分中值定理与导数的应用第一节　微分中值定理 87

一、函数的极值 87

二、微分中值定理 88

习题3-1 92

第二节　泰勒公式 93

习题3-2 97

第三节　洛必达法则 98

一、0/0型未定式的洛必达法则 98

二、∞/∞型未定式的洛必达法则 99

三、其他类型的未定式 100

习题3-3 102

第四节　函数的单调性与曲线的凹凸性 103

一、函数单调性的判定法 103

二、曲线的凹凸性及拐点 105

习题3-4 108

第五节　函数的极值与最大值、最小值 108

一、函数的极值 108

二、最值问题 111

习题3-5 113

第六节　函数图形的描绘 114

一、曲线的渐近线 114

二、函数图形的描绘 115

习题3-6 117

第七节　曲率 117

一、弧微分 117

二、曲率及其计算公式 118

三、曲率半径与曲率圆 120

习题3-7 121

第八节　数学模型 122

习题3-8 123

本章复习题A 123

本章复习题B 125

第四章　不定积分 127

第一节　不定积分的概念与性质 127

一、原函数与不定积分的概念 127

二、基本积分表 128

三、不定积分的性质 129

习题4-1 130

第二节　换元积分法 131

一、第一类换元积分法 131

二、第二类换元积分法 134

习题4-2 137

第三节　分部积分法 138

习题4-3 141

第四节　几种特殊类型函数的积分 141

一、有理函数的积分 141

二、可化为有理函数的积分举例 145

习题4-4 147

第五节　积分表的使用 147

习题4-5 148

第六节　数学模型 148

本章复习题A 149

本章复习题B 149

第五章　定积分及其应用 151

第一节　定积分的概念与性质 151

一、引例 151

二、定积分的定义 152

三、定积分的性质 155

习题5-1 157

第二节　微积分基本公式 158

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 158

二、积分上限的函数及其导数 158

三、牛顿—莱布尼兹公式 160

习题5-2 161

第三节　定积分的换元法和分部积分法 162

一、定积分的换元积分法 162

二、定积分的分部积分法 164

习题5-3 166

第四节　广义积分 167

一、无穷限的广义积分 167

二、无界函数的广义积分 168

习题5-4 170

第五节　定积分的元素法及其应用 171

一、定积分的元素法 171

二、定积分在几何学上的应用 172

三、定积分在物理学上的应用 176

习题5-5 179

第六节　数学模型 180

习题5-6 181

本章复习题A 181

本章复习题B 182

第六章　向量代数与空间解析几何第一节　向量及其线性运算 184

一、向量的概念 184

二、向量的线性运算 185

三、空间直角坐标系 187

四、利用坐标作向量的线性运算 188

五、向量的模、方向角、投影 189

习题6-1 191

第二节　数量积　向量积　混合积 193

一、向量的数量积 193

二、向量的向量积 194

三、向量的混合积 196

习题6-2 198

第三节　曲面及其方程 198

一、曲面方程的概念 198

二、旋转曲面 200

三、柱面 201

四、二次曲面 202

习题6-3 204

第四节　空间曲线及其方程 205

一、空间曲线的一般方程 205

二、空间曲线的参数方程 205

三、曲面的参数方程 206

四、空间曲线在坐标面上的投影 207

习题6-4 208

第五节　平面及其方程 209

一、平面的点法式方程 209

二、平面的一般方程 210

三、两平面的夹角 211

习题6-5 213

第六节　空间直线及其方程 213

一、空间直线的一般方程 213

二、空间直线的对称式方程与参数方程 214

三、两直线的夹角 216

四、直线与平面的夹角 216

五、平面束 217

习题6-6 218

第七节　数学模型 219

习题6-7 222

本章复习题A 222

本章复习题B 223

第七章　多元函数微分法及其应用第一节　多元函数的基本概念 225

一、平面点集　n维空间 225

二、多元函数的概念 227

三、多元函数的极限 229

四、多元函数的连续性 231

习题7-1 233

第二节　偏导数 234

一、偏导数的定义及其计算方法 234

二、高阶偏导数 237

习题7-2 239

第三节　全微分 240

一、全微分的定义 240

二、全微分的存在条件 240

习题7-3 243

第四节　多元复合函数的求导法则 243

一、多元复合函数的求导法则 243

二、全微分的形式不变性 247

习题7-4 248

第五节　隐函数的求导公式 249

一、一个方程的情形 249

二、方程组的情形 251

习题7-5 253

第六节　多元微分学在几何上的应用 253

一、空间曲线的切线与法平面 253

二、曲面的切平面与法线 256

习题7-6 258

第七节　方向导数与梯度 259

一、方向导数 259

二、梯度 261

习题7-7 262

第八节　多元函数的极值及其求法 263

一、多元函数的极值 263

二、条件极值　拉格朗日乘数法 267

习题7-8 269

第九节　数学模型 270

一、最优化模型 270

二、最小二乘法模型 271

习题7-9 273

本章复习题A 273

本章复习题B 274

第八章　重积分 276

第一节　二重积分的概念与性质 276

一、二重积分的概念 276

二、二重积分的性质 278

习题8-1 279

第二节　二重积分的计算方法 280

一、利用直角坐标计算二重积分 280

二、利用极坐标计算二重积分 285

习题8-2 288

第三节　三重积分 290

一、三重积分的概念 290

二、三重积分的计算 291

习题8-3 295

第四节　重积分的应用 296

一、曲面的面积 296

二、质心 298

三、转动惯量 299

四、引力 300

习题8-4 302

第五节　数学模型 303

习题8-5 304

本章复习题A 305

本章复习题B 307

第九章　曲线积分与曲面积分 309

第一节　对弧长的曲线积分 309

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 309

二、对弧长的曲线积分的计算 311

习题9-1 312

第二节　对坐标的曲线积分 313

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 313

二、对坐标的曲线积分的计算 315

三、两类曲线积分之间的联系 317

习题9-2 318

第三节　格林公式 318

一、格林公式 318

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 322

三、二元函数的全微分求积 323

习题9-3 326

第四节　对面积的曲面积分 327

一、对面积的曲面积分的概念与性质 327

二、对面积的曲面积分的计算 328

习题9-4 330

第五节　对坐标的曲面积分 330

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 330

二、对坐标的曲面积分的计算 334

三、两类曲面积分之间的联系 335

习题9-5 337

第六节　高斯公式　斯托克斯公式 337

一、高斯公式 337

二、斯托克斯公式 339

三、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式之间的关系 341

习题9-6 341

第七节　数学模型 342

一、曲线形与曲面形构件质量的数学模型 342

二、变力沿曲线所作功的数学模型 343

三、流向曲面一侧的流量的数学模型 343

四、通量与散度 344

五、环流量与旋度 345

习题9-7 346

本章复习题A 346

本章复习题B 348

第十章　无穷级数 349

第一节　常数项级数的概念与性质 349

一、常数项级数的基本概念 349

二、收敛级数的基本性质 351

习题10-1 353

第二节　常数项级数的审敛法 354

一、正项级数及其审敛法 354

二、交错级数及其审敛法 360

三、绝对收敛与条件收敛 362

习题10-2 364

第三节　幂级数 365

一、函数项级数的概念 365

二、幂级数及其收敛性 366

三、幂级数的运算 369

习题10-3 372

第四节　函数展开成幂级数 372

一、泰勒级数 372

二、函数展开成幂级数 374

习题10-4 378

第五节　函数的幂级数展开式的应用 378

一、近似计算 378

二、欧拉公式 380

习题10-5 381

第六节　傅立叶级数 381

一、三角级数　三角函数系的正交性 382

二、函数展开成傅立叶级数 382

三、正弦级数和余弦级数 387

四、周期为2l的周期函数的傅立叶级数 391

习题10-6 394

第七节　数学模型 394

习题10-7 396

本章复习题A 396

本章复习题B 400

第十一章　微分方程 401

第一节　微分方程的基本概念 401

习题11-1 403

第二节　变量分离方程 403

一、变量分离方程 403

二、齐次方程 405

习题11-2 407

第三节　一阶线性微分方程 407

一、线性微分方程 407

二、伯努利方程 410

习题11-3 411

第四节　全微分方程 411

习题11-4 413

第五节　可降阶的高阶微分方程 414

一、y(n)=f(x)型的微分方程 414

二、y"=f(x,y')型的微分方程 415

三、y"=f(y,y')型的微分方程 416

习题11-5 417

第六节　高阶线性微分方程 418

一、二阶线性微分方程举例 418

二、二阶线性微分方程的解的结构 419

习题11-6 421

第七节　常系数齐次线性微分方程 421

习题11-7 424

第八节　常系数非齐次线性微分方程 424

一、f(x)=eλxPm(x)型 425

二、f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型 427

三、欧拉方程 428

习题11-8 429

第九节　数学模型 430

习题11-9 434

本章复习题A 435

本章复习题B 436

附录1　二阶和三阶行列式简介 437

附录2　极坐标 439

附录3　几种常用的曲线 442

附录4　积分表 444

习题答案与提示 448

参考文献 474