第1章 矢量微分算符 1
1.1标量场的方向导数与梯度 1
方向导数 1
梯度 2
两点间距的梯度 4
1.2矢量场的通量与散度 4
通量 4
散度 5
散度的微分形式 5
散度的运算法则 6
格林公式 7
1.3矢量场的环量与旋度 7
环量 7
旋度 7
旋度的微分形式 8
旋度的运算法则 9
矢量微分运算的一般法则 10
旋度定理 10
矢量格林公式 11
1.4圆柱坐标系中的矢量微分算符 11
基本单位矢与？算符 11
？2算符和散度、旋度 12
1.5球坐标系中的矢量微分算符 13
基本单位矢与？算符 13
？2算符和散度、旋度 14
1.6正交曲线坐标系中的矢量微分算符 16
正交曲线坐标系 拉米系数 16
正交曲线坐标系中的梯度 17
正交曲线坐标系中的散度 17
正交曲线坐标系中的旋度 18
1.7电磁场法向分量边界条件的非独立性 19
关于B 1n=B 2n 19
关于D 2n—D 1n=ρ s 20
1.8并矢及其代数运算 21
并矢 21
并矢的行矢量表象和列矢量表象 22
并矢的转置 22
并矢的代数运算 23
几种特别的并矢 24
1.9并矢的微分与积分 26
并矢的微分运算 26
并矢的积分运算 27
正交曲线坐标系中的并矢微分公式 28
常用并矢计算公式 30
习题1 31
第2章 复变函数概要 33
2.1复变函数与解析函数 33
复数 复向量 复变函数 33
解析函数 33
柯西-黎曼条件 34
解析函数的物理解释 34
2.2复变函数的奇点 35
极点 本性奇点 孤立奇点 35
支点 割线 黎曼面 36
2.3解析函数的有关定理 36
柯西定理 36
留数与留数定理 37
柯西积分公式 39
泰勒（Taylor）定理 39
刘维尔（Liouville）定理 40
2.4利用留数定理求积分 40
2.5解析延拓 45
解析函数的唯一性定理 45
解析延拓 45
幂级数的解析延拓 46
2.6 Г函数的解析延拓与Г函数的常用公式 47
Г函数的解析延拓 47
Г函数的常用公式 47
习题2 49
第3章 平面静电场问题的保角映射法 50
3.1保角映射及其基本性质 50
保角映射 50
保角映射的条件 50
像与原像的对应性 51
边界对应定理 52
保角映射的存在性和唯一性定理 53
3.2利用保角映射求平面静电场的思想 54
3.3基本映射 56
线性映射 56
幂映射 57
根式映射 57
指数映射 59
对数映射 59
3.4反演映射的保圆性和保对称点性 61
反演映射的保圆性 61
反演映射的保对称点性 61
3.5分式线性映射 62
分式线性映射与恒等变换 62
分式线性映射的存在和唯一性定理 63
传输线理论中的史密斯阻抗圆图 65
3.6儒可夫斯基映射 66
儒可夫斯基映射公式 66
单位圆内部区域在儒可夫斯基映射下的像 68
3.7多角形区域的映射 69
多角形顶点的外角 70
把多角形区域映射为上半平面 70
无穷远顶点的外角 71
有无穷远像点的情况 72
3.8平行板电容器边缘附近的电场分布 74
场区的保角映射 74
利用复势分析电场 76
习题3 78
第4章 二阶线性齐次常微分方程解法概论 79
4.1引论 79
二阶齐次方程的通解 79
级数解及其存在性 80
方程的奇点 81
4.2正则奇点邻域内的正则解 83
方程的正则奇点 83
正则解与指标方程 84
正则解的三种情况和夫罗比尼斯法 85
4.3非正则奇点邻域内的常规解简介 88
常规解 88
二阶方程常规解的存在条件 88
4.4斯特姆-刘维尔型本征值问题 89
斯特姆-刘维尔型方程 89
本征值问题 89
边界条件的一般提法 90
区间［a，b］上的函数f（x）按本征函数展开 90
4.5解微分方程的WKB近似法 91
解的基本形式 92
转折点 93
解析延拓与解的确定 94
习题4 96
第5章 超几何微分方程的正则解 98
5.1超几何微分方程与超几何级数 98
三奇点福克斯型方程及其正则解的P符号表示 98
超几何微分方程正则解的P符号 99
超几何级数 100
超几何多项式 101
5.2 z=0邻域内的正则解 102
5.3 z=1邻域内的正则解和P符号的奇点变换 104
5.4 z=∞邻域内的正则解和P符号的指标变换 105
习题5 108
第6章 勒让德方程与勒让德函数 109
6.1电磁场问题与勒让德方程 109
场方程的分离变量 109
P l（ζ）和P m l（ζ）的一般关系 110
6.2奇点邻域内的正则解 111
正则解的P符号 111
ζ=1邻域内的正则解 112
6.3勒让德多项式与连带的勒让德多项式 113
勒让德多项式P l（ζ） 113
连带的勒让德多项式P m l（ζ）与P -m l（ζ） 116
6.4 P l（ζ）多项式的生成函数和递推公式 117
生成函数 117
P l（ζ）的递推关系 118
P m l（ζ）的递推公式 120
6.5正交关系 121
正交关系式 121
正交性的证明 121
非正交时的积分 122
函数f（ζ）按P l（ζ）和P m l（ζ）的展开式 124
平面波用勒让德多项式展开 124
6.6球谐函数 126
球谐函数及其正交归一关系 126
球坐标系中拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程的一般解 127
习题6 128
第7章 合流超几何微分方程 129
7.1合流超几何微分方程 129
合流超几何方程的基本形式 129
z=0邻域的正则解 合流超几何函数 129
z=∞邻域的常规解 131
7.2拉盖尔方程与拉盖尔多项式 133
拉盖尔方程 拉盖尔多项式 133
L μ n（z）的生成函数 135
L μ n（z）的递推关系 135
正交关系 136
7.3厄米特方程与厄米特多项式 137
厄米特方程 137
厄米特多项式Hn（ζ） 138
H n（ζ）的生成函数与递推关系 139
H n（ζ）的正交关系 139
7.4惠泰克方程 140
惠泰克方程与合流超几何方程的关系 140
在z=0邻域内的正则解 惠泰克M函数 141
z=∞邻域内的常规解 142
惠泰克W函数 143
7.5渐变折射率光纤中的惠泰克方程 143
纤芯内的场方程 143
化为惠泰克方程 145
方程（7-5-13）的解 145
习题7 146
第8章 贝塞尔方程与贝塞尔函数 147
8.1贝塞尔方程概述 147
贝塞尔方程 147
球贝塞尔方程 147
与合流超几何微分方程和惠泰克方程的联系 148
8.2贝塞尔方程在ζ=0邻域的正则解 三类贝塞尔函数 148
第一类贝塞尔函数 148
第二类贝塞尔函数 150
第三类贝塞尔函数 152
递推关系 153
半奇数阶贝塞尔函数的初等函数形式 154
8.3球贝塞尔函数 155
8.4贝塞尔方程的本征值问题 156
8.5贝塞尔函数的生成函数与积分表示 158
生成函数 158
平面波展开式 159
J l（ζ）的积分表示 159
汉克尔函数的积分表示 160
8.6汉克尔函数的大宗量近似 161
鞍点与最速下降路径 162
鞍点法的近似公式 163
H （1） l（x）的大宗量近似式 164
8.7变型贝塞尔方程与变型贝塞尔函数 165
方程形式 165
第一类变型贝塞尔函数 165
第二类变型贝塞尔函数 166
递推关系和朗斯基行列式 167
大宗量近似式 168
贝塞尔方程在阶跃光纤中的应用 168
8.8索末菲球面波公式 169
波的能量守恒方程 169
点源发出的功率 169
柱坐标系中球面波方程的积分解 170
系数C的确定 171
习题8 172
第9章 δ函数 173
9.1一维δ函数的定义及基本性质 173
δ函数的引入 173
δ函数的导数 174
δ（x）的其他性质 174
δ函数的积分表示 177
9.2分段可微函数的符号导数 177
亥维赛单位阶跃函数H（x） 177
符号导数 178
分段可微函数f（x）的符号导数 178
符号函数sgn x及其导数 179
9.3三维δ函数 180
定义 180
δ函数的分离变量形式 180
9.4以δ（r）为非齐次项的泊松方程 181
三维情况 181
二维情况 182
一维情况 182
习题9 183
第10章 解非齐次方程定解问题的格林函数法 184
10.1格林函数的物理意义和一般性质 184
格林函数 184
格林函数的物理意义 185
格林函数的一般性质 185
有界空间非齐次方程的形式解 186
格林函数边界条件的选取 187
10.2边值问题中的格林函数 188
求格林函数的本征函数法 188
一维格林函数的有限形式 190
用镜像法求格林函数 191
10.3无界稳恒波动问题中的格林函数 193
三维格林函数 亥姆霍兹积分 193
三维格林函数的级数形式 194
二维格林函数 196
10.4含时格林函数 197
含时格林函数的定义 198
互易关系 199
含时边值问题的一般解 200
有界空间的含时格林函数 201
10.5无界空间的含时格林函数 202
三维情况 202
二维情况 203
一维情况和达兰贝尔公式 204
习题10 205
第11章 变分法 206
11.1泛函与变分 206
泛函 206
泛函的极值 207
变分 207
泛函的变分 208
11.2泛函取极值的必要条件 208
固定边界条件 欧拉变分方程 209
自由边界条件 210
两个参变量的情况 211
11.3条件极值问题 212
约束条件是泛函 212
约束条件是多元函数 214
11.4变分在边值问题中的应用 216
边值问题中泛函的一般求法 216
非齐次亥姆霍兹方程的边值问题 217
本征值问题的泛函 最小本征值 218
瑞利-里兹方法 220
11.5变分原理 222
正则变量 222
变分原理 222
欧拉-拉格朗日方程组 223
变分原理与麦克斯韦方程组 223
习题11 224
第12章 非线性微分方程简介 226
12.1典型非线性微分方程 226
孤波和KdV方程 226
SG方程 227
NLS方程 227
12.2行波法求解非线性微分方程 227
KdV方程的孤波解 228
SG方程的孤波解 229
NLS方程的孤波解 231
12.3逆散射法 233
GGKM变换 233
量子力学中的散射问题 233
逆散射法 234
12.4 KdV方程的单、双孤子解 237
单孤子解 237
双孤子解 238
习题12 241
部分习题参考答案 242