第四篇 多元函数微分学 3
第8章 多元函数微分学 3
8.1多元函数的基本概念 3
区域 3
多元函数的概念 4
多元函数的重极限 6
多元函数的连续性 8
习题8.1 9
8.2偏导数 10
偏导数的定义及其计算方法 10
二元函数偏导数的几何意义 13
高阶偏导数 14
习题8.2 16
8.3全微分 16
全微分的定义 16
全微分在近似计算中的应用 20
习题8.3 22
8.4多元复合函数的求导法则 23
多元复合函数的求导法则 23
多元复合函数的全微分 27
习题8.4 28
8.5隐函数存在定理及其求导公式 29
由一个方程确定的隐函数的情形 29
由方程组确定的隐函数组的情形 32
习题8.5 34
8.6方向导数与梯度 35
方向导数 35
梯度 38
数量场与向量场 40
习题8.6 42
8.7多元函数微分法在几何上的应用 42
空间曲线的切线与法平面 43
空间曲面的切平面与法线 46
习题8.7 48
8.8多元函数的极值 49
极值 49
条件极值 52
习题8.8 56
8.9二元函数的泰勒公式 56
二元函数的泰勒公式 57
极值充分条件的证明 59
习题8.9 60
总习题八 60
本章数学实验 62
第五篇 多元函数积分学 71
第9章 重积分 71
9.1二重积分的基本概念 71
二重积分的概念 71
二重积分的性质 74
习题9.1 75
9.2二重积分的计算 76
直角坐标系下二重积分的计算 76
极坐标系下二重积分的计算 80
二重积分的换元法 84
习题9.2 87
9.3三重积分 89
直角坐标系下三重积分的计算 90
柱面坐标系与球面坐标系下三重积分的计算 93
三重积分的换元法 97
习题9.3 98
9.4重积分的应用 99
几何应用 99
物理应用 102
习题9.4 105
9.5含参变量的积分 106
习题9.5 110
总习题九 110
本章数学实验 111
第10章 曲线积分与曲面积分 115
10.1第一类曲线积分 115
第一类曲线积分的定义与性质 115
第一类曲线积分的计算 117
习题10.1 120
10.2第二类曲线积分 120
第二类曲线积分的定义与性质 120
第二类曲线积分的计算 123
习题10.2 126
10.3格林公式及其应用 127
格林公式 127
平面曲线积分与路径无关的条件 131
习题10.3 135
10.4第一类曲面积分 136
第一类曲面积分的定义与性质 136
第一类曲面积分的计算 137
习题10.4 140
10.5第二类曲面积分 141
第二类曲面积分的定义与性质 141
第二类曲面积分的计算 143
习题10.5 148
10.6高斯公式 通量与散度 148
高斯公式 148
通量与散度 152
沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 154
习题10.6 154
10.7斯托克斯公式 环流量与旋度 155
斯托克斯公式 155
环流量与旋度 159
空间曲线积分与路径无关的条件 160
习题10.7 161
总习题十 162
本章数学实验 163
第六篇 无穷级数 169
第11章 数项级数 169
11.1级数的基本概念 169
数项级数的概念 169
数项级数的基本性质 172
习题11.1 175
11.2正项级数 176
正项级数的概念 176
正项级数敛散性的判别法 177
习题11.2 186
11.3交错级数 186
交错级数 187
绝对收敛与条件收敛 188
绝对收敛级数的性质 191
习题11.3 192
总习题十一 192
本章数学实验 193
第12章 函数项级数 196
12.1幂级数 196
函数项级数的一般概念 196
幂级数及其收敛性 197
幂级数的运算 201
幂级数求和 204
习题12.1 206
12.2函数的幂级数展开 207
泰勒级数 207
函数的幂级数展开 209
习题12.2 215
12.3幂级数的应用 215
近似计算 215
微分方程的幂级数解法 217
欧拉公式 218
习题12.3 219
12.4傅里叶级数 219
三角函数系的正交性 219
函数的傅里叶级数 221
习题12.4 226
12.5正弦级数与余弦级数 226
习题12.5 228
12.6有限区间上函数的傅里叶级数 228
以2l为周期的函数的傅里叶级数 228
有限区间上的傅里叶级数 231
习题12.6 232
总习题十二 233
本章数学实验 234
第七篇 常微分方程初步 243
第13章 一阶常微分方程 243
13.1微分方程的基本概念 243
微分方程的定义 243
微分方程的通解与特解 245
初值问题 246
习题13.1 248
13.2可分离变量的微分方程 248
习题13.2 251
13.3齐次方程 252
习题13.3 256
13.4一阶线性微分方程 257
一阶线性非齐次方程的通解 257
伯努利方程 260
习题13.4 261
13.5全微分方程 262
习题13.5 265
总习题十三 266
本章数学实验 267
第14章 二阶微分方程 270
14.1可降阶的二阶微分方程 270
y″=f（x）型 270
y″=f（x,y′）型 271
y″=f（y,y′）型 272
习题14.1 273
14.2二阶线性微分方程 274
二阶线性微分方程的概念 274
二阶线性齐次微分方程的解的结构 274
二阶线性非齐次微分方程的解的结构 276
常数变易法 278
习题14.2 280
14.3二阶常系数线性齐次微分方程 281
习题14.3 284
14.4二阶常系数线性非齐次微分方程 284
f（x）=eλxPn（x）型 285
f（x）=eλx［Pn（x）cosωx+Pl（x）sinωx］型 286
习题14.4 289
14.5欧拉方程 290
习题14.5 292
14.6常系数线性微分方程组 293
习题14.6 295
总习题十四 295
本章数学实验 297
参考文献 302
部分习题答案与提示 303