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第四篇 多元函数微分学 3

第8章 多元函数微分学 3

8.1多元函数的基本概念 3

区域 3

多元函数的概念 4

多元函数的重极限 6

多元函数的连续性 8

习题8.1 9

8.2偏导数 10

偏导数的定义及其计算方法 10

二元函数偏导数的几何意义 13

高阶偏导数 14

习题8.2 16

8.3全微分 16

全微分的定义 16

全微分在近似计算中的应用 20

习题8.3 22

8.4多元复合函数的求导法则 23

多元复合函数的求导法则 23

多元复合函数的全微分 27

习题8.4 28

8.5隐函数存在定理及其求导公式 29

由一个方程确定的隐函数的情形 29

由方程组确定的隐函数组的情形 32

习题8.5 34

8.6方向导数与梯度 35

方向导数 35

梯度 38

数量场与向量场 40

习题8.6 42

8.7多元函数微分法在几何上的应用 42

空间曲线的切线与法平面 43

空间曲面的切平面与法线 46

习题8.7 48

8.8多元函数的极值 49

极值 49

条件极值 52

习题8.8 56

8.9二元函数的泰勒公式 56

二元函数的泰勒公式 57

极值充分条件的证明 59

习题8.9 60

总习题八 60

本章数学实验 62

第五篇 多元函数积分学 71

第9章 重积分 71

9.1二重积分的基本概念 71

二重积分的概念 71

二重积分的性质 74

习题9.1 75

9.2二重积分的计算 76

直角坐标系下二重积分的计算 76

极坐标系下二重积分的计算 80

二重积分的换元法 84

习题9.2 87

9.3三重积分 89

直角坐标系下三重积分的计算 90

柱面坐标系与球面坐标系下三重积分的计算 93

三重积分的换元法 97

习题9.3 98

9.4重积分的应用 99

几何应用 99

物理应用 102

习题9.4 105

9.5含参变量的积分 106

习题9.5 110

总习题九 110

本章数学实验 111

第10章 曲线积分与曲面积分 115

10.1第一类曲线积分 115

第一类曲线积分的定义与性质 115

第一类曲线积分的计算 117

习题10.1 120

10.2第二类曲线积分 120

第二类曲线积分的定义与性质 120

第二类曲线积分的计算 123

习题10.2 126

10.3格林公式及其应用 127

格林公式 127

平面曲线积分与路径无关的条件 131

习题10.3 135

10.4第一类曲面积分 136

第一类曲面积分的定义与性质 136

第一类曲面积分的计算 137

习题10.4 140

10.5第二类曲面积分 141

第二类曲面积分的定义与性质 141

第二类曲面积分的计算 143

习题10.5 148

10.6高斯公式 通量与散度 148

高斯公式 148

通量与散度 152

沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 154

习题10.6 154

10.7斯托克斯公式 环流量与旋度 155

斯托克斯公式 155

环流量与旋度 159

空间曲线积分与路径无关的条件 160

习题10.7 161

总习题十 162

本章数学实验 163

第六篇 无穷级数 169

第11章 数项级数 169

11.1级数的基本概念 169

数项级数的概念 169

数项级数的基本性质 172

习题11.1 175

11.2正项级数 176

正项级数的概念 176

正项级数敛散性的判别法 177

习题11.2 186

11.3交错级数 186

交错级数 187

绝对收敛与条件收敛 188

绝对收敛级数的性质 191

习题11.3 192

总习题十一 192

本章数学实验 193

第12章 函数项级数 196

12.1幂级数 196

函数项级数的一般概念 196

幂级数及其收敛性 197

幂级数的运算 201

幂级数求和 204

习题12.1 206

12.2函数的幂级数展开 207

泰勒级数 207

函数的幂级数展开 209

习题12.2 215

12.3幂级数的应用 215

近似计算 215

微分方程的幂级数解法 217

欧拉公式 218

习题12.3 219

12.4傅里叶级数 219

三角函数系的正交性 219

函数的傅里叶级数 221

习题12.4 226

12.5正弦级数与余弦级数 226

习题12.5 228

12.6有限区间上函数的傅里叶级数 228

以2l为周期的函数的傅里叶级数 228

有限区间上的傅里叶级数 231

习题12.6 232

总习题十二 233

本章数学实验 234

第七篇 常微分方程初步 243

第13章 一阶常微分方程 243

13.1微分方程的基本概念 243

微分方程的定义 243

微分方程的通解与特解 245

初值问题 246

习题13.1 248

13.2可分离变量的微分方程 248

习题13.2 251

13.3齐次方程 252

习题13.3 256

13.4一阶线性微分方程 257

一阶线性非齐次方程的通解 257

伯努利方程 260

习题13.4 261

13.5全微分方程 262

习题13.5 265

总习题十三 266

本章数学实验 267

第14章 二阶微分方程 270

14.1可降阶的二阶微分方程 270

y″=f（x）型 270

y″=f（x,y′）型 271

y″=f（y,y′）型 272

习题14.1 273

14.2二阶线性微分方程 274

二阶线性微分方程的概念 274

二阶线性齐次微分方程的解的结构 274

二阶线性非齐次微分方程的解的结构 276

常数变易法 278

习题14.2 280

14.3二阶常系数线性齐次微分方程 281

习题14.3 284

14.4二阶常系数线性非齐次微分方程 284

f（x）=eλxPn（x）型 285

f（x）=eλx［Pn（x）cosωx+Pl（x）sinωx］型 286

习题14.4 289

14.5欧拉方程 290

习题14.5 292

14.6常系数线性微分方程组 293

习题14.6 295

总习题十四 295

本章数学实验 297

参考文献 302

部分习题答案与提示 303