第一章 绪论 1
1．1误差 1
误差的来源 1
误差分析的基本概念 2
数值算法与算法的数值稳定性 4
1．2误差分析的方法与原则 7
1．3算法的软件实现与计算机的数系结构 10
习题一 12
数值实验一 13
第二章 非线性方程的数值解法 17
2．1二分法 17
2．2迭代法 19
不动点迭代法 19
不动点迭代法的一般理论 22
局部收敛性与收敛阶 24
2．3迭代收敛的加速方法 27
使用两个迭代值的组合方法 27
斯蒂芬森迭代法 29
2．4牛顿迭代法 31
2．5弦割法与抛物线法 35
弦割法 35
抛物线法 37
习题二 40
数值实验二 41
第三章 线性方程组的直接解法 45
3．1三角形方程组和三角分解 45
三角形方程组的解法 45
高斯变换 47
三角分解的计算 48
其他的三角分解 51
3．2选主元三角分解 52
3．3平方根法 57
3．4分块三角分解 61
3．5向量范数和矩阵范数 63
向量范数 63
矩阵范数 64
3．6线性方程组的敏度分析与病态方程组的解法 70
线性方程组的敏度分析 70
病态方程组的解法 73
习题三 74
数值实验三 76
第四章 多项式插值与函数逼近 80
4．1插值问题 80
4．2代数插值多项式的构造方法 82
拉格朗日插值法 82
牛顿插值法 85
4．3埃尔米特插值问题 90
埃尔米特插值多项式的构造 90
埃尔米特插值多项式的存在唯一性以及误差估计 91
带不完全导数的埃尔米特插值多项式举例 92
4．4分段插值 93
高次插值的评述 93
分段插值 95
4．5三次样条插值函数 99
三次样条插值函数的力学背景 99
三次样条插值函数 99
三次样条插值函数的性质 103
4．6函数逼近 105
函数逼近问题 105
最佳平方逼近 107
正交多项式 109
最佳一致逼近 114
最佳一致逼近多项式求法的讨论 119
离散的最佳逼近问题 121
习题四 122
数值实验四 124
第五章 数值积分与数值微分 128
5．1数值求积的基本问题 128
引言 128
求积公式的代数精度 129
求积公式的收敛性与稳定性 130
5．2牛顿-柯特斯公式 131
插值型求积公式 131
牛顿-柯特斯公式 132
几种低阶求积公式的余项 134
5．3复化求积公式 135
复化梯形公式 135
复化辛普森公式 136
自动选取积分步长 139
5．4龙贝格求积公式 140
5．5高斯求积公式 142
高斯求积问题的提出 142
高斯求积公式 144
5．6积分方程的数值解 149
5．7数值微分 150
插值型的求导公式 150
用三次样条插值函数求数值导数 152
习题五 153
数值实验五 155
第六章 线性与非线性方程组的迭代解法 158
6．1 J acobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 158
Jacobi迭代法 158
Gauss-Seidel迭代法 159
6．2 Jacobi迭代与G-S迭代的收敛性分析 159
收敛的充分必要条件与误差估计 159
收敛速度 168
6．3超松弛迭代法 169
超松弛迭代法 169
SOR迭代法的收敛性 171
最佳松弛因子与迭代法的比较 173
块超松弛迭代法 174
6．4共轭梯度法 175
最速下降法 175
共轭梯度法及其基本性质 178
实用共轭梯度法及其收敛性 183
预处理方法与Krylov子空间方法简介 185
6．5非线性方程组的迭代解法 188
非线性Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代和SOR迭代 189
Newton迭代法及其改进算法 190
大范围算法简介 192
习题六 193
数值实验六 195
第七章 曲线拟合与线性最小二乘问题 199
7．1线性最小二乘问题 199
问题的引入 199
最小二乘多项式拟合 200
解的存在性、唯一性 201
7．2广义逆矩阵与最小二乘解 205
定义与表示 205
基本性质 208
7．3正交化方法 209
Gram-Schmidt正交化方法 209
正交分解和线性方程组的最小二乘解 213
Householder变换与Givens变换 217
7．4奇异值分解 223
习题七 225
数值实验七 226
第八章 特征值问题的计算方法 231
8．1基本概念与性质 231
8．2幂法与反幂法 233
8．3 Jacobi方法 238
经典Jacobi方法 238
循环Jacobi方法及其变形 241
8．4 QR方法 242
基本迭代与收敛性 243
实Schur标准形 244
上H essenberg化 245
三对角化 248
隐式对称QR迭代 249
隐式对称QR算法 250
8．5二分法 251
习题八 256
数值实验八 258
第九章 常微分方程数值解法 262
9．1引言 262
9．2 Euler方法 263
Euler方法及其稳定性 263
局部误差和方法的阶 266
Euler方法的误差分析 267
9．3 Runge-Kutta方法 269
Runge-Kutta方法的基本思想 269
显式Runge-Kutta方法及其稳定性 270
隐式Runge-Kutta方法 277
9．4线性多步法与预估-校正格式 279
9．5理论分析 282
单步法的收敛性 282
稳定性 283
收敛性 284
9．6方程组与高阶方程的数值方法 285
9．7刚性方程组 286
9．8边值问题 289
问题提出 289
打靶法 290
习题九 292
数值实验九 293
参考文献 296
名词索引 298