绪论 模式建构方法在现代数学教育中的作用 1
第1章 公理方法 5
1.1 公理方法和公理系统 5
1° 数学对象、概念和命题 5
2° 公理方法 7
3° 初始概念和公理、导出概念和定理 8
4° 推理规则 10
5° 公理系统及其实型 14
1.2 公理方法的基本类型 16
1° 实体化公理方法 16
2° 初等形式化公理方法 17
3° 完全形式化公理方法 19
1.3 实体化公理方法的应用 20
1° 欧几里德《几何原本》中的实体化公理系统（E系统） 20
2° 《几何原本》的价值、缺陷和第5公设问题 21
3° 运用实体化公理方法需要注意的问题 23
4° 牛顿经典力学的公理化 25
1.4 初等形式化公理方法的应用 27
1° 希尔伯特《几何基础》中的欧氏几何公理系统（EH系统） 27
2° EH系统的展开 33
3° 公理方法的沟通功能 50
4° EH系统的代数实型 53
1.5 几个常见的公理系统 58
1° 非欧几何公理系统 58
2° 射影几何公理系统 66
3° 自然数公理系统 69
4° 悖论与公理化集合论 72
1.6 公理系统的逻辑准则 78
1° 三条逻辑准则 79
2° 验证公理系统符合逻辑准则的方法与哥德尔不完备性定理 81
1.7 完全形式公理化方法的应用 90
1° 完全形式公理化的基本原则 90
2° ZFC集合论公理系统的完全形式化 94
1.8 公理方法的发展史与功能 99
1° 公理方法发展史述评 99
2° 公理方法的功能和局限性 103
第2章 数学结构基本理论 105
2.1 数学结构理论与方法概述 105
1° 结构理论与方法 105
2° 集合论与数学结构 109
3° 数学结构理论与方法发展史述评 113
2.2 赋构及结构的分类 116
1° 赋构操作原则 116
2° 结构的分类 119
2.3 初始结构 120
1° 序关系和初始序结构 121
2° 代数运算和初始代数结构 121
3° 拓扑空间和初始拓扑结构 122
4° 可测性和初始测度结构 129
2.4 派生结构 131
1° 序结构的派生 131
2° 代数结构的派生 135
3° 拓扑结构的派生 146
4° 测度结构的派生 162
2.5 结构生成的一般特点其他生成结构 165
1° 结构公理之间的关系 165
2° 交叉公理与交叉结构 167
3° 多重结构同一结构生成方式的多样性 172
4° 结构公理和承载集的关系 175
5° 子结构 176
6° 积结构 177
7° 商结构 179
8° 混合结构 180
2.6 结构映射 181
1° 结构关系和结构映射 181
2° 同态与同构 184
3° 映射集合的结构 187
4° 一致性结构 189
第3章 结构分析方法的应用 192
3.1 同态与同构方法的应用 192
1° 复数集的结构分析及其应用 192
2° 从测度观点研究概率论 197
3° 抽象群的表示 199
3.2 变换群的应用 201
1° 关于代数方程根式求解的伽罗瓦理论 202
2° 几何学按变换群分类 208
3.3 数系的扩张 213
1° 一元数系扩张的古典方式及其局限性 214
2° 一元数系扩张的结构方式与数系的结构 216
3° 实数系（数直线）的结构 221
4° 多元数系的构筑 223
5° 广义数简述 229
3.4 关于微积分问题的结构思考 231
1° 实函数向复函数的推广及其基本微积分运算的推广 232
2° 黎曼积分向勒贝格积分推广 236
3.5 泛函分析中的抽象空间理论 241
1° 抽象空间 242
2° 算子和算子空间 248
第4章 抽象度分析方法 252
4.1 数学抽象与模式建构 252
1° 数学抽象的特点与基本原则 252
2° 抽象过程与抽象物的层次性 254
3° 数学抽象的方式 256
4.2 抽象链与抽象度 261
1° 抽象偏序与抽象链 261
2° 抽象度的各种指标及其分析 262
3° 抽象度分析表制作举例 266
4.3 抽象度分析方法的应用 268
1° 选择抽象路径与调整抽象链 269
2° 抽象方式的多重性 271
3° 抽象度分析方法在教学设计方面的应用 274