第8章 多元函数微分学及其应用 1
8.1 多元函数 1
8.1.1 n维空间 1
8.1.2 R2中的一些概念 2
8.1.3 多元函数的概念 3
8.1.4 多元函数的极限 4
8.1.5 多元函数的连续性 6
习题8.1 7
8.2 多元函数的偏导数 8
8.2.1 偏导数的定义及几何意义 8
8.2.2 偏导数的计算 9
8.2.3 函数偏导数存在与函数连续的关系 10
8.2.4 高阶偏导数 11
习题8.2 12
8.3 全微分 12
8.3.1 全微分的概念 12
8.3.2 函数可微分的条件 13
习题8.3 16
8.4 多元复合函数的求导法则 17
8.4.1 链式求导法则 17
8.4.2 全微分形式不变性 21
习题8.4 22
8.5 隐函数的求导公式 23
8.5.1 由一个方程确定的隐函数的求导法则 23
8.5.2 由方程组确定的隐函数的求导法则 25
习题8.5 27
8.6 方向导数与梯度 28
8.6.1 方向导数 28
8.6.2 梯度 30
习题8.6 32
8.7 多元函数微分学的应用 33
8.7.1 几何应用 33
8.7.2 全微分在近似计算中的应用 38
8.7.3 二元函数的泰勒公式 40
习题8.7 42
8.8 多元函数的极值、最值和条件极值 43
8.8.1 多元函数的极值及其判别法 43
8.8.2 多元函数的最值 46
8.8.3 多元函数的条件极值 48
习题8.8 51
8.9 数学实验 51
实验一 多元函数极限与偏导数的符号运算 51
实验二 多元泰勒（Taylor）公式 53
实验三 最小二乘曲线拟合问题 55
总习题8 61
自测题8 62
第9章 重积分 64
9.1 二重积分的概念与性质 64
9.1.1 二重积分的概念 64
9.1.2 二重积分的性质 66
习题9.1 67
9.2 二重积分的计算 67
9.2.1 在直角坐标系中计算二重积分 67
9.2.2 在极坐标系中计算二重积分 70
9.2.3 二重积分的换元法 73
9.2.4 广义二重积分 75
习题9.2 76
9.3 三重积分 77
9.3.1 三重积分的概念和性质 77
9.3.2 在直角坐标系中计算三重积分 78
9.3.3 在柱面坐标系和球面坐标系中计算三重积分 80
习题9.3 83
9.4 重积分的应用 84
9.4.1 重积分的几何应用 84
9.4.2 重积分的物理应用 86
习题9.4 89
9.5 数学实验 90
实验一 重积分的计算 90
总习题9 92
自测题9 93
第10章 曲线积分与曲面积分 95
10.1 第一类（对弧长的）曲线积分 95
10.1.1 第一类曲线积分的概念 95
10.1.2 第一类曲线积分的计算及其应用 97
习题10.1 100
10.2 第一类（对面积的）曲面积分 101
10.2.1 第一类曲面积分的概念 101
10.2.2 第一类曲面积分的计算及其应用 102
习题10.2 105
10.3 第二类（对坐标的）曲线积分 106
10.3.1 第二类曲线积分的概念 106
10.3.2 第二类曲线积分的计算法 109
习题10.3 112
10.4 格林公式及其应用 113
10.4.1 格林（Green）公式 113
10.4.2 平面曲线积分与路径无关的条件 117
10.4.3 格林公式的旋度形式和散度形式 121
习题10.4 124
10.5 第二类（对坐标的）曲面积分 125
10.5.1 第二类曲面积分的概念 125
10.5.2 第二类曲面积分的计算 129
习题10.5 132
10.6 高斯（Gauss）公式 通量与散度 133
10.6.1 高斯（Gauss）公式 133
10.6.2 通量与散度 137
习题10.6 138
10.7 斯托克斯（Stokes）公式 环量与旋度 139
10.7.1 斯托克斯（Stokes）公式 139
10.7.2 环量与旋度 142
习题10.7 142
10.8 数学实验 143
实验一 曲线积分的计算 143
实验二 曲面积分的计算 145
实验三 通讯卫星的电波覆盖地球表面问题 145
总习题10 148
自测题10 150
第11章 无穷级数 152
11.1 常数项级数的概念和性质 152
11.1.1 常数项级数的概念 152
11.1.2 收敛级数的基本性质 154
习题11.1 156
11.2 常数项级数的审敛法 157
11.2.1 正项级数及其审敛法 157
11.2.2 交错级数及其审敛法 162
11.2.3 绝对收敛与条件收敛 163
习题11.2 164
11.3 幂级数 165
11.3.1 函数项级数的概念 165
11.3.2 幂级数及其收敛性 166
11.3.3 幂级数的运算 169
习题11.3 171
11.4 函数展开成幂级数 172
11.4.1 泰勒级数 172
11.4.2 函数展开成幂级数 174
习题11.4 178
11.5 函数的幂级数展开式的应用 178
11.5.1 求某些级数的和 178
11.5.2 近似计算 179
11.5.3 欧拉公式 180
习题11.5 182
11.6 傅里叶级数 182
11.6.1 三角级数 三角函数系的正交性 182
11.6.2 函数展开成傅里叶级数 183
11.6.3 正弦级数和余弦级数 188
习题11.6 191
11.7 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 191
习题11.7 193
11.8 数学实验 194
实验一 无穷级数的计算 194
总习题11 198
自测题11 199
第12章 微分方程 200
12.1 微分方程的基本概念 200
习题12.1 202
12.2 可分离变量的微分方程 203
习题12.2 205
12.3 一阶线性微分方程 205
习题12.3 208
12.4 全微分方程 208
习题12.4 210
12.5 可降阶的高阶微分方程 210
12.5.1 y(n)=f（x）型的微分方程 211
12.5.2 y″＝f（x,y′）型的微分方程 211
12.5.3 y″＝f（y,y′）型的微分方程 213
习题12.5 214
12.6 高阶线性微分方程 214
12.6.1 二阶线性微分方程举例 214
12.6.2 线性微分方程的解的结构 215
12.6.3 常数变易法 217
习题12.6 218
12.7 二阶常系数齐次线性微分方程 218
习题12.7 221
12.8 二阶常系数非齐次线性微分方程 222
12.8.1 f(x)=Pm(x)eμx型 222
12.8.2 f(x)=eμx［Sl(x)cosωx+Tn(x)sinωx］型 223
习题12.8 226
12.9 变量代换法 226
12.9.1 齐次方程 226
12.9.2 可化为齐次的方程 228
12.9.3 伯努利方程 230
12.9.4 欧拉方程 231
习题12.9 232
12.10 微分方程的幂级数解法 232
习题12.10 235
12.11 数学实验 235
实验一 常微分方程的解析解 235
实验二 常微分方程的数值解 237
实验三 狗追咬人的数学模型 240
总习题12 243
自测题12 243
习题答案与提示 245
参考文献 261