第1章 预备知识 1
线性空间和同构① 1
子空间 3
线性相关 4
基和维数 5
商空间 7
第2章 对偶 11
线性函数 11
线性空间的对偶 11
零化子 13
余维数 13
求积公式 14
第3章 线性空间 17
域空间与目标空间 17
零空间与值域 18
基本定理 18
线性方程亚定组 19
插值 19
差分方程 20
线性映射的代数 21
转置 22
零空间与值域的维数 24
相似 24
投射 26
第4章 矩阵 28
行和列 29
矩阵乘法 30
转置 32
秩 32
高斯消元法 33
第5章 行列式和迹 38
有序单形 38
带符号的体积 38
置换群 40
行列式公式 41
乘法性质 42
拉普拉斯展开 45
克拉默法则 45
迹 47
第6章 谱理论 50
线性映射的迭代 50
本征值与本征向量 51
斐波那契序列 53
本征多项式 55
再谈迹与行列式 56
谱映射定理 57
凯莱-哈密顿定理 58
广义本征向量 59
谱定理 60
极小多项式 62
矩阵何时相似？ 63
交换映射 63
第7章 欧几里得结构 67
标量积与距离 68
施瓦茨不等式 69
标准正交基 70
格拉姆-施密特方法 70
正交补 72
正交投影 72
伴随 73
超定方程组 74
等距映射 76
正交群 77
线性映射的范数 78
完备性与局部紧致性 80
复欧几里得空间 82
谱半径 84
希尔伯特-施密特范数 85
向量积 86
第8章 欧几里得空间自伴随映射的谱理论 88
二次型 88
惯性律 89
谱分解 91
交换映射 96
反自伴随映射 96
正规映射 97
瑞利商 97
最小最大原理 100
范数和本征值 102
第9章 向量值函数、矩阵值函数的微积分学 104
依范数收敛 104
求导法则 105
det A（t）的导数 108
矩阵幂 108
单本征值 111
多重本征值 115
雷利希定理 119
错开交叉 120
第10章 矩阵不等式 122
正定的自伴随矩阵 122
单调矩阵函数 128
格拉姆矩阵 129
舒尔定理 130
正定矩阵的行列式 131
行列式积分公式 133
本征值 136
分隔本征值 137
维兰德-霍夫曼定理 139
最小、最大本征值 141
自伴随部分正定的矩阵 142
极分解 144
奇异值 144
奇异值分解 144
第11章 运动学与动力学 146
旋转轴、转角 146
刚体运动 146
角速度向量 149
流体运动 150
旋度与散度 151
小幅振动 153
能量守恒 154
简正振型与固有频率 156
第12章 凸集 159
凸集 159
度规函数 160
哈恩-巴拿赫定理 162
支撑函数 164
卡拉泰奥多里定理 166
寇尼希-伯克霍夫定理 168
黑利定理 169
第13章 对偶定理 172
法卡斯-闵可夫斯基定理 172
对偶定理 175
经济学上的解释 177
最小最大定理 179
第14章 赋范线性空间 182
范数 182
lp范数 182
范数的等价性 184
完备性 186
局部紧致性 186
里斯定理 186
对偶范数 188
向量到子空间的距离 189
赋范商空间 190
复赋范线性空间 191
复哈恩-巴拿赫定理 191
欧几里得空间的特征 192
第15章 赋范线性空间之间的线性映射 195
线性映射的范数 195
转置映射的范数 196
映射的赋范代数 197
可逆映射 198
谱半径 200
第16章 正矩阵 201
佩龙定理 201
随机矩阵 203
弗罗贝尼乌斯定理 206
第17章 怎样解线性方程组 208
历史回顾 208
条件数 209
迭代法 210
最速下降法 211
基于切比雪夫多项式的迭代法 213
基于切比雪夫多项式的三项迭代法 215
优化的三项递推法 217
收敛速度 221
第18章 如何计算自伴随矩阵的本征值 222
QR分解 222
利用QR分解求解方程组 223
求本征值的QR算法 223
基于豪斯霍尔德反射的QR分解 225
三对角矩阵 228
模拟QR算法的托达流 228
默泽尔定理 231
更一般的流 234
部分练习答案 236
参考文献 251
附录1 特殊行列式 252
附录2 普法夫多项式 255
附录3 辛矩阵 257
附录4 张量积 261
附录5 格 264
附录6 快速矩阵乘法 266
附录7 格希高瑞定理 268
附录8 本征值的重数 269
附录9 快速傅里叶变换 272
附录10 谱半径 277
附录11 洛伦兹群 284
附录12 单位球的紧致性 293
附录13 换位子的特征 295
附录14 李亚普诺夫定理 297
附录15 若当标准形 301
附录16 数值域 304
索引 308