第一编 数学奥林匹克中的Kummer定理 1
第一章 Kummer定理——从一道IMO预选题谈起 1
1 问题的提出 1
2 关于Kummer的手稿 7
第二章 Sophie Germain定理——从一道全国初中数学联赛的试题谈起 14
1 引言 14
2 Germain其人 14
3 Sophie Germain的一个初等定理及推广 16
4 在初中数学竞赛中的应用 20
第三章 Hilbert的一个反例 23
1 引言 23
2 Hilbert的一个反例 24
3 K（？）中整数的分解：不属于域的最大公因子 30
第二编 p进制中的Kummer定理 39
第一章 Kummer定理在数论中的应用 39
第三编 从Fermat到Euler 61
第一章 Fermat——孤独的法官 61
1 出身贵族的Fermat 61
2 官运亨通的Fermat 63
3 淡泊致远的Fermat 65
4 复兴古典的Fermat 67
5 议而不作的数学家 70
第二章 Fermat定理和Wilson定理以及它们的推广和逆命题；1，2，…，p-1模p的对称函数 74
1 Fermat定理和Wilson定理；直接推广 74
2 Fermat定理的推论F（a，N）≡O（mod N） 122
3 Fermat定理的进一步推论 127
4 Fermat定理的逆命题 136
5 1，2，…，p-1模p的对称函数 143
第三章 Euler——多产的数学家 158
1 n＝3时，Fermat定理的初等证明 159
2 被印在钞票上的数学家 160
第四编 从Euler到Kummer 165
第一章 从Euler到Kummer的数论黄金年代 165
1 从Euler到Kummer 165
2 Kummer的理想因子理论 168
3 Kummer引理 185
4 总结 186
第二章 Kummer——“理想”的创造者 188
1 “老古董”——Kummer 188
2 哲学的终生爱好者——Kummer 191
3 “理想数”的引入者——Kummer 193
4 承上启下的Kummer 199
5 悠闲与幽默的Kummer 205
第五编 Birkhoff论整环 209
第一章 多项式 209
1 多项式形式 209
2 多项式函数 213
3 交换环的同态 217
4 多元多项式 220
5 辗转相除法 222
6 单位与相伴 224
7 不可约多项式 227
8 唯一因子分解定理 228
9 其他唯一因子分解整环 232
第六编 代数数论中的理想理论 239
第一章 理想唯一分解定理（一） 239
第二章 理想的进一步性质 247
第三章 理想唯一分解定理（二） 257
第四章 理想的结构 265
第五章 对理想的同余 269
第六章 二次域的素理想 279
第七编 有理指数的Fermat大定理与Kummer扩域 291
第一章 有理指数的Fermat大定理 291
1 介绍 291
2 实根的情况 293
3 需要的Galois理论片断 295
4 主要结果 298
第二章 关于不定方程x？＋y？＝z？，x？＋y？＝z？的整数解以及代数数域Q（p？，p？，…，p？）的次数 304
第三章 关于不定方程x？＋y？＝z？的广义整数解及一类Kummer扩域的次数 313
1 引言 313
2 关于一类Kummer扩域的次数 315
3 几个引理 322
4 方程x？＋y？＝z？的广义整数解 329