第一篇 极限论 3
第一部分 极限初论 3
第一章 变量和函数 3
1函数的概念 3
一、变量 3
二、函数 4
三、函数的一些几何特性 7
习题 9
2复合函数和反函数 12
一、复合函数 12
二、反函数 13
习题 15
3基本初等函数 15
习题 20
第二章 极限和连续 21
1数列的极限和无穷大量 21
一、数列极限的定义 21
二、数列极限的性质 25
三、数列极限的运算 28
四、单调有界数列 32
五、无穷大量的定义 34
六、无穷大量的性质和运算 36
习题 37
2函数的极限 40
一、函数在一点的极限 40
二、函数极限的性质和运算 42
三、单侧极限 46
四、函数在无限远处的极限 47
五、函数值趋于无穷大的情形 49
六、两个常用的不等式和两个重要的极限 50
习题 53
3连续函数 55
一、连续的定义 55
二、连续函数的性质和运算 57
三、初等函数的连续性 58
四、不连续点的类型 60
五、闭区间上连续函数的性质 61
习题 63
4无穷小量与无穷大量的阶 65
习题 67
第二部分 极限续论 71
第三章 关于实数的基本定理和闭区间上连续函数性质的证明 71
1关于实数的基本定理 71
一、子列 71
二、上确界和下确界 72
三、区间套定理 74
四、致密性定理 75
五、柯西收敛原理 76
六、有限覆盖定理 78
习题 79
2闭区间上连续函数性质的证明 80
一、有界性定理 80
二、最大（小）值定理 82
三、零点存在定理 83
四、反函数连续性定理 84
五、一致连续性定理 84
习题 86
第二篇 单变量微积分学 91
第一部分 单变量微分学 91
第四章 导数和微分 91
1导数的引进和定义 91
一、导数的引进 91
二、导数的定义和它的几何意义 93
习题 94
2简单函数的导数 95
一、常数的导数 95
二、正弦函数的导数 95
三、对数函数的导数 96
四、幂函数的导数 96
习题 97
3求导法则 98
一、导数的四则运算 98
二、反函数的导数 102
习题 106
4复合函数求导法 107
习题 109
5微分和微分的运算 111
一、微分的定义 111
二、微分的运算法则 113
习题 114
6隐函数和参数方程所表示的函数的求导法 114
一、隐函数求导法 114
二、参数方程所表示的函数的求导法 116
习题 118
7不可导的函数举例 119
习题 121
8高阶导数和高阶微分 122
一、高阶导数和它的运算法则 122
二、高阶微分 127
习题 128
第五章 微分学基本定理和导数的应用 131
1中值定理 131
一、费马（Fermat）定理 131
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 132
习题 134
2泰勒公式 135
一、利用一阶导数作近似计算 135
二、泰勒（Taylor）公式 137
习题 142
3函数的单调性、凸性和极值 143
一、函数的单调性 143
二、函数的极大值和极小值 145
三、函数的最大值和最小值 147
四、函数的凸性 149
习题 155
4平面曲线的曲率 158
一、什么是曲线的曲率 158
二、弧长的微分 160
三、曲率的计算 161
习题 163
5待定型 163
一、0/0和∞/∞待定型 164
二、其他待定型 166
习题 168
6方程的近似解 169
习题 171
第二部分 单变量积分学 175
第六章 不定积分 175
1不定积分的概念和运算法则 175
一、不定积分的定义 175
二、不定积分的基本公式 176
三、不定积分的运算法则 177
习题 179
2不定积分的计算 179
一、“凑”微分法 180
二、换元积分法 181
三、分部积分法 183
四、有理函数积分法 186
五、其他类型的积分举例 192
习题 196
第七章 定积分 199
1定积分的概念 199
习题 201
2定积分存在的条件 202
一、定积分存在的充要条件 202
二、可积函数类 207
三、再谈黎曼可积的充要条件 209
习题 210
3定积分的性质 211
习题 214
4定积分的计算 215
一、定积分计算的基本公式 215
二、定积分的换元公式 217
三、定积分的分部积分公式 218
四、杂例 219
习题 221
第八章 定积分的应用和近似计算 224
1平面图形的面积 224
习题 227
2曲线的弧长 227
习题 231
3体积 231
习题 233
4旋转曲面的面积 234
习题 236
5质心 236
习题 238
6平均值、功 239
一、平均值 239
二、功 240
习题 241
7定积分的近似计算 242
习题 246
索引 247