第1章 笛卡儿的发现 1
1.1 二维平面中的局部坐标和整体坐标 2
1.2 从整体到局部的转化 5
1.3 三维空间中的局部坐标与整体坐标 6
1.4 单位框外一点坐标的转换 7
1.5 应用：创建坐标 8
1.6 习题 9
第2章 无处不在：二维平面中的点和向量 11
2.1 点和向量 11
2.2 点和向量的区别 13
2.3 向量场 15
2.4 向量的长度 16
2.5 点的组合 18
2.6 线性无关 20
2.7 点积 21
2.8 正交投影 24
2.9 不等式 24
2.10 习题 26
第3章 排列起来：二维平面上的直线 28
3.1 定义一条直线 28
3.2 直线的参数方程 29
3.3 直线的隐式方程 30
3.4 直线的显式方程 33
3.5 参数方程与隐式方程的互化 33
3.5.1 参数式方程到隐式方程 33
3.5.2 隐式方程到参数式方程 34
3.6 点到线的距离 35
3.6.1 从隐式直线方程开始 35
3.6.2 从参数式直线方程开始 37
3.7 点在直线上的投影 38
3.8 相交位置：计算交点 39
3.8.1 参数式方程和隐式方程 39
3.8.2 两个参数式方程 41
3.8.3 两个隐式方程 42
3.9 习题 43
第4章 形状变化：二维平面中的线性映射 45
4.1 倾斜目标框 45
4.2 矩阵形式 46
4.3 线性空间 48
4.4 缩放 50
4.5 反射 52
4.6 旋转 53
4.7 切变 55
4.8 投影 56
4.9 面积和线性映射：行列式 59
4.10 构造线性映射 61
4.11 矩阵乘法的更多性质 63
4.12 矩阵的运算规则 65
4.13 习题 66
第5章 2×2线性方程组 68
5.1 倾斜目标框的再现 68
5.2 矩阵形式 69
5.3 一个直接的方法：克莱姆法则 70
5.4 高斯消元法 71
5.5 绕轴旋转 72
5.6 无解线性方程组 74
5.7 欠定方程组 74
5.8 齐次线性方程组 75
5.9 抵消映射：逆矩阵 76
5.10 定义一个映射 81
5.11 二元视图 82
5.12 习题 83
第6章 在周围移动：二维平面上的仿射映射 85
6.1 坐标变换 85
6.2 仿射映射和线性映射 87
6.3 平移 88
6.4 更多常见的仿射映射 88
6.5 从三角形映射到三角形 90
6.6 仿射映射的复合 91
6.7 习题 94
第7章 特征 96
7.1 固定方向 97
7.2 特征值 97
7.3 特征向量 99
7.4 扩大普遍性 101
7.5 对称矩阵的几何图形 102
7.6 二次型 105
7.7 重复映射 108
7.8 习题 109
第8章 三维空间中的几何 111
8.1 从二维到三维 111
8.2 向量积 113
8.3 直线 116
8.4 平面 117
8.5 混合积 120
8.6 应用：光和影 121
8.7 习题 124
第9章 三维空间中的线性映射 125
9.1 矩阵和线性映射 125
9.2 线性空间 127
9.3 图形缩放 128
9.4 图形反射 129
9.5 图形切变 130
9.6 图形旋转 132
9.7 图形投影 135
9.8 体积与线性映射：行列式 137
9.9 线性映射的组合 139
9.10 逆矩阵 141
9.11 矩阵性质的拓展 142
9.12 习题 143
第10章 三维空间中的仿射映射 147
10.1 仿射映射 147
10.2 平移 148
10.3 四面体的映射 149
10.4 平行投影 151
10.5 齐次坐标和透视投影 155
10.6 习题 158
第11章 三维空间中的相交 160
11.1 点与平面的距离 160
11.2 两直线间的距离 162
11.3 直线与平面相交 163
11.4 直线与三角形相交 165
11.5 反射 165
11.6 三个平面相交 166
11.7 两个平面相交 168
11.8 建立标准正交坐标系 169
11.9 习题 171
第12章 高斯消元法解线性方程组 173
12.1 问题的引入 173
12.2 高斯消元求解法 176
12.3 齐次线性方程组 182
12.4 逆矩阵 183
12.5 矩阵的LU分解 186
12.6 行列式 189
12.7 最小二乘法 191
12.8 应用：股骨头的数据拟合 193
12.9 习题 195
第13章 方程组的替代算法 198
13.1 豪斯霍尔德算法 198
13.2 向量的范数 204
13.3 矩阵的范数 206
13.4 条件数 208
13.5 向量的序列 209
13.6 线性方程组的迭代解法：高斯-雅可比法和高斯-赛德尔法 210
13.7 习题 213
第14章 一般线性空间 215
14.1 线性空间的基本性质 215
14.2 线性映射 217
14.3 内积 220
14.4 格拉姆-施密特标准正交化 222
14.5 空间一览 224
14.6 习题 225
第15章 特征问题的再讨论 228
15.1 基础知识再讨论 228
15.2 幂法 234
15.3 应用：谷歌特征向量 236
15.4 特征函数 238
15.5 习题 239
第16章 奇异值分解 241
16.1 2×2情形下的儿何结构 241
16.2 一般情形 244
16.3 SVD步骤 247
16.4 奇异值和体积 248
16.5 广义逆 248
16.6 最小二乘 249
16.7 应用：图像压缩 252
16.8 主成分分析 252
16.9 习题 255
第17章 分解：三角形 258
17.1 质心坐标 258
17.2 仿射不变性 260
17.3 一些特殊点 261
17.4 二维平面三角剖分 263
17.5 数据结构 264
17.6 应用：点的位置 266
17.7 三维空间三角剖分 266
17.8 习题 267
第18章 直线组合：折线和多边形 269
18.1 折线 269
18.2 多边形 270
18.3 凸性 271
18.4 多边形的种类 272
18.5 特殊的多边形 273
18.6 转向角和回转数 274
18.7 面积 275
18.8 应用：共面问题 278
18.9 应用：点在平面内还是在平面外 279
18.9.1 奇偶规则 279
18.9.2 非零回转数规则 280
18.10 习题 281
第19章 圆锥曲线 283
19.1 一般圆锥曲线 283
19.2 圆锥曲线的分析 287
19.3 标准位置的一般曲线 288
19.4 习题 290
第20章 曲线 291
20.1 参数曲线 291
20.2 贝塞尔曲线的性质 294
20.3 矩阵形式 295
20.4 导数 296
20.5 复合曲线 298
20.6 平面曲线的几何 298
20.7 沿着曲线移动 300
20.8 习题 302
附录 303
附录A 词汇表 303
附录B 部分习题参考答案 309
参考文献 342