第一章 总论 1
1 差分格式的构造 2
1.1 古典差分格式 2
1.2 基于各种物理定律的差分格式 4
1.3 基于变分原理的差分格式 7
1.4 其它类型的差分格式 11
2 线性差分格式的稳定性和收敛性 13
2.1 线性方程的初值问题 13
2.2 不适定的初值问题 21
2.3 一般形式的线性差分格式 27
2.4 线性特征值问题 34
3 非线性差分格式的稳定性和收敛性 43
3.1 非线性问题的广义稳定性 44
3.2 非线性问题的局部稳定性 51
3.3 分歧点问题 60
4 差分格式稳定性的常用判别法 69
4.1 线性初值问题的Fourier方法 70
4.2 不适定问题的Fourier方法 89
4.3 能量方法 97
4.4 非直角坐标问题的能量方法 121
4.5 单调矩阵方法 127
4.6 离散Green函数方法 134
5 偏微分方程定解问题解的存在性 139
5.1 线性问题的古典解 140
5.2 线性问题的弱解 145
5.3 非线性问题 149
第二章 双曲型方程 155
6 一阶双曲型方程组的初值问题 155
6.1 特征线方法，解的存在性 155
6.2 矩形网格上的特征型格式 164
6.3 二次守恒格式，预估校正法 171
6.4 Kreiss的耗散方法 180
7 守恒型方程组的初值问题 190
7.1 守恒型方程组的弱解和激波 190
7.2 守恒型格式和单调格式 193
7.3 正型差分格式，弱解的存在性 200
7.4 Lax格式和Lax-Wendroff型格式 212
7.5 混合开关方法 219
7.6 预估校正格式 221
7.7 Riemann间断分解，Γодунов格式 224
7.8 Glimm方法和随机选取法，弱解存在性的另一证明 230
7.9 人工粘性法 238
7.10 人工压缩法 245
7.11 特征型格式和隐式格式 247
7.12 质点法和涡团法 249
8 一阶双曲型方程组的初、边值问题 252
8.1 对称线性双曲型方程组，解的存在性 253
8.2 一般线性双曲型方程组的能量方法 266
8.3 非线性方程初边值问题的弱解，解的存在性 284
8.4 不定边界问题 291
9 高阶双曲型方程和非线性波动方程 300
9.1 常系数高阶方程的Fourier方法 301
9.2 非线性格式的能量方法 308
9.3 孤波，Korteweg-de Vries方程的初值问题 312
9.4 Korteweg-de Vries方程的初、边值问题 318
9.5 RLW方程，高精度差分格式 323
9.6 Klein-Gordon方程和Sine-Gordon方程 326
9.7 Schr？dinger方程和Dirac方程 334
第三章 抛物型方程 339
10 线性方程的初值问题 339
10.1 线性方程的正型格式，解的存在性 339
10.2 John的有界性条件 347
10.3 高阶抛物型方程组，离散Green函数方法 358
10.4 按L2范数的稳定性 373
10.5 高精度格式，外推法 377
10.6 传输扩散方程，Петров-Γалеркин方法 383
10.7 反热传导问题 389
11 线性方程的初、边值问题 393
11.1 热传导方程的初、边值问题，解的存在性 393
11.2 变系数方程，变时间步长方法 401
11.3 高阶方程的初、边值问题 407
11.4 积分关系法 412
11.5 Keller的Box格式 418
11.6 配置法，超收敛性 422
11.7 边界层型奇异摄动问题，Ильин方法 429
11.8 Stefan问题 436
12 非线性抛物型方程 440
12.1 一些简单的非线性方程 441
12.2 半线性方程的极值原理，反应扩散方程及其渐近行为 444
12.3 拟线性反应扩散方程组 454
12.4 Burgers方程的守恒型格式，解的存在性 461
12.5 Burgers方程二次守恒型格式的误差估计 467
12.6 Burgers方程的特征型格式，大Reynolds数流动问题 478
12.7 粘性流体的涡度方程 482
12.8 Navier-Stokes方程 491
12.9 抛物型-双曲型耦合方程组，低Mach数流动 497
12.10 可压缩流，电磁流和大气环流方程组 501
13 多维初、边值问题的经济算法 506
13.1 显式隐式混合格式 507
13.2 交替方向显式法 510
13.3 交替方向法 511
13.4 预估校正格式 514
13.5 分裂格式 515
13.6 非线性问题的经济算法 516
第四章 椭圆型方程 523
14 线性椭圆型方程边值问题的古典差分方法 523
14.1 二阶线性方程的单调型格式，Laplace方程Dirichlet问题解的存在性 523
14.2 高精度单调型格式 535
14.3 算子组合法 544
14.4 解有奇性的情况 549
14.5 Von Neumann问题的差分格式，广义离散Green函数 557
14.6 多维边值问题的分裂外推法 561
14.7 守恒型差分格式 563
14.8 能量方法，高阶方程 566
14.9 离散Schauder估计，Poisson方程的解的存在性 573
14.10 高阶差商的误差估计，加速收敛的局部平均法 583
14.11 舍入误差的概率估计 587
15 基于变分和其它原理的方法 590
15.1 椭圆型方程和不等方程的变分形式 590
15.2 有限元的一般概念 602
15.3 Соболев空间的插值理论 611
15.4 Γалеркин方法 618
15.5 Петров-Γалеркин方法 624
15.6 广义差分方法 627
15.7 最小二乘法 636
15.8 不等方程的Γалеркин方法 641
15.9 Schwarz方法 643
15.10 配置方法 647
15.11 边界积分方法 652
15.12 边界值逼近方法 658
16 线性特征值问题 661
16.1 线性特征值问题及其变分形式 662
16.2 Raylcigh-Ritz方法和Pólya方法 664
16.3 Γалеркин方法 671
16.4 加速收敛方法 676
16.5 Weinberger的差分方法 681
16.6 计算高阶和多重特征值的差分方法 683
16.7 高精度差分方法，超收敛性 693
17 非线性椭圆型方程 716
17.1 半线性方程的差分方法 717
17.2 半线性方程的孤立解 722
17.3 半线性方程的分歧点 734
17.4 生物数学中的离散模式 743
17.5 拟线性方程的能量方法 754
17.6 粘性流体涡度方程的定常问题 760
17.7 定常流体动力学的动态松弛法和稳定化方法 764
17.8 Navier-Stokes方程的定常问题 769
附录 773
18 偏微分方程反问题的数值方法 773
18.1 反问题的一般概念 773
18.2 脉冲谱方法 776
18.3 基于积分变换的其他方法 782
18.4 摄动方法 785
18.5 Backus-Gilbert方法 787
18.6 正则化方法 790
18.7 拟逆方法 795
参考文献 799
中文文献 799
西文文献 801
俄文文献 841