第一章 数值计算导论 1
1数学问题与数值计算问题 1
2数值计算的基本数学思想与方法 9
数值计算的基本思想 9
数值计算的基本方法 16
3计算误差的基本概念和误差分析 18
误差来源的分类 19
绝对误差、相对误差与有效数字 21
算术运算的误差 25
适定性与稳定性 29
避免和减少误差的若干计算原则 33
4算法性态分析概述 35
计算复杂度——计算的代价 36
收敛率——计算的速度 39
5问题与探索 41
数值问题的病态性 41
迭代法的收敛性及其收敛速度（收敛率） 43
20世纪十大算法 44
线性代数方程组问题与建模 45
习题一 47
数值实验一 50
数值实验1.1迭代法的设计与运行 50
数值实验1.2函数逼近 50
第二章 求解线性代数方程组的直接方法 52
1引言 52
2初等下三角形矩阵——Gauss变换矩阵 55
3 Gauss消元法 58
顺序Gauss消元法 58
消元过程的可行性 64
Gauss消元法的矩阵分析 66
Gauss主元消元法 68
4三角分解法 72
直接三角分解法 72
列主元三角分解法 76
带状对角形方程组的三角分解法 76
正定矩阵的三角分解法 84
5向量与矩阵的范数 87
线性空间中的范数 87
几个常用的向量范数 90
向量范数的等价性 93
矩阵范数 94
几个常用的诱导矩阵范数 97
范数的若干应用 100
6线性方程组的误差分析及其性态 103
直接法的误差分析 103
线性方程组的条件数 106
7问题与探索 107
条件数的近似计算 107
迭代改善法 109
求解拟三对角线性方程组的直接方法 109
本章评述 111
习题二 111
数值实验二 116
数值实验2.1电阻网络问题的求解 116
数值实验2.2时间序列模型的求解 116
第三章 求解线性代数方程组的迭代法 118
1引言 118
2基本迭代法及其构造 123
3基本迭代法的收敛理论 132
迭代法的收敛性分析 132
收敛定理 133
误差估计 136
4几类特殊方程的基本迭代法的收敛性 138
对角占优矩阵方程的基本迭代法的收敛性 138
对称正定矩阵方程的基本迭代法的收敛性 142
SOR迭代格式的收敛性 144
Richardson迭代格式的收敛性 147
5迭代加速方法 148
多项式加速方法 148
SOR迭代的最优松弛因子 150
6求解Ax=b的变分原理与共轭梯度法 158
求解Ax=b的变分原理与最速下降法 158
最速下降法的收敛性 161
共轭方向法 163
共轭梯度法 166
共轭梯度法的收敛性 169
求解非奇异方程组的共轭梯度法 170
7问题与探索 171
不动点原理 171
预处理共轭梯度法 175
最优松弛因子的实用选择方法 178
本章评述 178
习题三 179
数值实验三 184
数值实验3.1基本迭代法的运行（1） 184
数值实验3.2基本迭代法的运行（2） 185
数值实验3.3迭代法的进一步认识（1） 185
数值实验3.4迭代法的进一步认识（2） 185
第四章 非线性方程组的数值求解 186
1概述 186
2非线性方程的根的定位和二分法 187
根的定位 187
二分法 193
3基于不动点原理的迭代法 195
不动点方程与不动点迭代法 195
不动点的存在性与迭代法的全局收敛性 197
迭代法的局部收敛性与收敛阶 199
迭代法收敛的加速方法 201
4 Newton法（切线法） 206
Newton法及其迭代格式 206
Newton法的收敛性 207
求重根的修正Newton法 210
Newton法的进一步研究 212
5非线性方程组的数值求解的基本方法 218
概述 218
向量值函数的可微性 221
不动点迭代法及其局部收敛性 225
Newton迭代法 228
6非线性方程组的数值方法的进一步研究 232
同伦算法 232
拟Newton法 234
7问题与探索 236
方程重根数的计算方法 236
基于变分原理的最小二乘法 237
矩阵特征值问题的实例 238
本章评述 241
习题四 241
数值实验四 246
数值实验4.1算法的设计和性能比较研究 246
数值实验4.2 Newton法收敛域的结构和局部收敛性 246
数值实验4.3一般迭代格式的复杂行为 247
数值实验4.4非线性方程组的数值求解 247
第五章 矩阵特征值问题的数值方法 248
1矩阵特征值问题的有关基础 248
2乘幂法与反乘幂法 254
乘幂法的基本原理 254
乘幂法的计算格式 258
加速收敛技术 261
反乘幂法与Rayleigh商迭代法（RQI） 263
基于乘幂法的降阶收缩方法 265
3常用的线性变换工具 267
正交上三角化变换 267
Householder反射变换 268
实现正交三角分解的Givens旋转变换和Schmidt变换 276
4求解一般矩阵特征值问题的QR方法 280
基本QR迭代格式 280
QR方法的收敛性 282
QR方法的预处理 284
带平移QR迭代方法 289
5对称矩阵特征值问题 293
乘幂法 293
对称QR方法 294
Householder方法 295
Jacobi方法 299
6问题与探索 304
Krylov子空间方法的基本思想 304
Arnoldi过程 305
Lanczos过程 308
本章评述 310
习题五 311
数值实验五 316
数值实验5.1矩阵特征值问题条件数的估计 316
数值实验5.2 QR方法的实施 316
数值实验5.3对称矩阵特征值问题的不同方法的比较 317
第六章 数值逼近问题（Ⅰ）——插值及其数值计算 318
1插值的基本概念 318
2多项式插值 319
Lagrange插值 319
插值多项式的插值余项 321
Newton插值 323
有限差分计算 325
等距节点上的插值公式 330
Hermite插值 332
Newton-Hermite插值公式 333
3分段线性插值 334
4三次样条插值 336
三次样条函数 336
三次样条插值的计算 337
误差界与收敛性 339
5 B-样条函数 339
n次样条函数空间 340
B-样条及其性质 341
6问题与探索 345
Lagrange-Hermite插值公式 345
本章评述 348
习题六 348
数值实验六 352
数值实验6.1观察Lagrange插值的Runge现象 352
数值实验6.2验证三次样条函数插值是否有几何不变性 352
第七章 数值逼近问题（Ⅱ）——函数的最优逼近与拟合 354
1线性赋范空间中的逼近问题 354
函数逼近与函数空间 354
赋范线性空间中的最佳逼近 355
2最佳一致逼近 356
3最小零偏差多项式及其应用 358
Chebyshev多项式 358
代数插值余项的极小化 360
Taylor级数项数的节约 361
4最佳平方逼近 363
线性内积空间 363
线性内积空间的最佳逼近 363
函数的最佳平方逼近 366
正交基 369
5正交多项式 371
Legendre多项式 371
Chebyshev多项式 373
无穷区间上的正交多项式 374
6离散情况的最佳平方逼近 375
7数据拟合的最小二乘法 378
问题的引入 378
一般提法 380
8有理函数插值与逼近 383
9 Padé逼近方法 388
10快速Fourier变换（FFT） 393
三角函数插值和有限Fourier变换 393
快速Fourier变换 395
计算实例与倒地址问题 398
11问题与探索 399
最小二乘法模型中的线性和非线性函数 399
带约束条件的最小二乘法 400
本章评述 404
习题七 404
数值实验七 407
数值实验7.1非线性最小二乘拟合方法的比较 407
数值实验7.2最佳平方逼近多项式的收敛性 407
数值实验7.3 Padé逼近的收敛性 407
数值实验7.4函数平方逼近多项式的均方误差计算 408
第八章 数值积分与数值微分 409
1概述 409
数值积分与数值微分问题 409
数值积分的基本思想 409
2插值型求积法 413
插值型求积公式 413
Newton-Cotes公式 415
插值型求积公式的收敛性和数值稳定性 419
3复化求积法 421
复化梯形公式 421
复化Simpson公式 423
复化Cotes公式 425
4外推积分法与Romberg求积公式 426
外推法的基本思想 426
Euler-Maclaurin求和公式 428
Richardson外推法 431
Romberg求积公式 433
5 Gauss求积法 435
引言 435
Gauss数值求积原理及其性质 437
几种常用的Gauss求积公式 442
6重积分的数值计算 447
矩形区域上的二重梯形公式 447
矩形区域上的二重Simpson公式 449
7数值微分 450
基于插值法的数值微分法 450
样条插值函数数值微分法 452
化微分问题为积分问题的数值微分法 453
8问题与探索 454
积分方程的数值解 454
非标准权函数的Gauss求积公式的构造 456
常微分方程问题及其模型 457
本章评述 459
习题八 460
数值实验八 464
数值实验8.1复化梯形积分法、复化Simpson积分法和Gauss积分法的实验比较 464
数值实验8.2数值积分法用于积分方程求解 465
数值实验8.3数值微分法用于偏微分方程求解 465
数值实验8.4样条插值函数求积法 465
第九章 常微分方程初值问题的数值方法 4
1引言 467
解析解的理论结果 467
数值求解的基本思想 468
2简单的数值方法及其分析 469
Euler法及其几何解释 469
Euler法误差分析 471
其他简单单步法 474
单步法的局部截断误差与阶 476
3 Runge-Kutta方法 478
Taylor级数法 478
RK方法的构造 479
二阶显式RK方法 480
三阶与四阶显式RK方法 482
隐式与半隐式RK方法 484
4单步法的收敛性与稳定性 485
收敛性与相容性 486
整体截断误差估计及其应用 488
绝对稳定性与绝对稳定区域 491
5线性多步法 494
线性多步法的构造——数值积分法 494
线性多步法的构造——待定系数法 496
线性多步法的收敛性和稳定性 498
线性多步法的应用 504
6求解方程组和高阶方程的数值方法 507
一阶方程组 508
化高阶方程为一阶方程组 510
7问题与探索 511
刚性微分方程问题 511
微分方程边值问题的数值方法 512
微分方程的动力迭代法 515
本章评述 517
习题九 517
数值实验九 522
数值实验9.1观察显式Euler法的数值不稳定性 522
数值实验9.2观察当解不光滑时数值方法的收敛性 522
数值实验9.3初步认识刚性微分方程 522
数值实验9.4边值问题的数值方法 522
数值实验9.5简单的捕食模型 523
主要参考文献 524
名词索引 527