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第一章 数值计算导论 1

1数学问题与数值计算问题 1

2数值计算的基本数学思想与方法 9

数值计算的基本思想 9

数值计算的基本方法 16

3计算误差的基本概念和误差分析 18

误差来源的分类 19

绝对误差、相对误差与有效数字 21

算术运算的误差 25

适定性与稳定性 29

避免和减少误差的若干计算原则 33

4算法性态分析概述 35

计算复杂度——计算的代价 36

收敛率——计算的速度 39

5问题与探索 41

数值问题的病态性 41

迭代法的收敛性及其收敛速度（收敛率） 43

20世纪十大算法 44

线性代数方程组问题与建模 45

习题一 47

数值实验一 50

数值实验1.1迭代法的设计与运行 50

数值实验1.2函数逼近 50

第二章 求解线性代数方程组的直接方法 52

1引言 52

2初等下三角形矩阵——Gauss变换矩阵 55

3 Gauss消元法 58

顺序Gauss消元法 58

消元过程的可行性 64

Gauss消元法的矩阵分析 66

Gauss主元消元法 68

4三角分解法 72

直接三角分解法 72

列主元三角分解法 76

带状对角形方程组的三角分解法 76

正定矩阵的三角分解法 84

5向量与矩阵的范数 87

线性空间中的范数 87

几个常用的向量范数 90

向量范数的等价性 93

矩阵范数 94

几个常用的诱导矩阵范数 97

范数的若干应用 100

6线性方程组的误差分析及其性态 103

直接法的误差分析 103

线性方程组的条件数 106

7问题与探索 107

条件数的近似计算 107

迭代改善法 109

求解拟三对角线性方程组的直接方法 109

本章评述 111

习题二 111

数值实验二 116

数值实验2.1电阻网络问题的求解 116

数值实验2.2时间序列模型的求解 116

第三章 求解线性代数方程组的迭代法 118

1引言 118

2基本迭代法及其构造 123

3基本迭代法的收敛理论 132

迭代法的收敛性分析 132

收敛定理 133

误差估计 136

4几类特殊方程的基本迭代法的收敛性 138

对角占优矩阵方程的基本迭代法的收敛性 138

对称正定矩阵方程的基本迭代法的收敛性 142

SOR迭代格式的收敛性 144

Richardson迭代格式的收敛性 147

5迭代加速方法 148

多项式加速方法 148

SOR迭代的最优松弛因子 150

6求解Ax=b的变分原理与共轭梯度法 158

求解Ax=b的变分原理与最速下降法 158

最速下降法的收敛性 161

共轭方向法 163

共轭梯度法 166

共轭梯度法的收敛性 169

求解非奇异方程组的共轭梯度法 170

7问题与探索 171

不动点原理 171

预处理共轭梯度法 175

最优松弛因子的实用选择方法 178

本章评述 178

习题三 179

数值实验三 184

数值实验3.1基本迭代法的运行（1） 184

数值实验3.2基本迭代法的运行（2） 185

数值实验3.3迭代法的进一步认识（1） 185

数值实验3.4迭代法的进一步认识（2） 185

第四章 非线性方程组的数值求解 186

1概述 186

2非线性方程的根的定位和二分法 187

根的定位 187

二分法 193

3基于不动点原理的迭代法 195

不动点方程与不动点迭代法 195

不动点的存在性与迭代法的全局收敛性 197

迭代法的局部收敛性与收敛阶 199

迭代法收敛的加速方法 201

4 Newton法（切线法） 206

Newton法及其迭代格式 206

Newton法的收敛性 207

求重根的修正Newton法 210

Newton法的进一步研究 212

5非线性方程组的数值求解的基本方法 218

概述 218

向量值函数的可微性 221

不动点迭代法及其局部收敛性 225

Newton迭代法 228

6非线性方程组的数值方法的进一步研究 232

同伦算法 232

拟Newton法 234

7问题与探索 236

方程重根数的计算方法 236

基于变分原理的最小二乘法 237

矩阵特征值问题的实例 238

本章评述 241

习题四 241

数值实验四 246

数值实验4.1算法的设计和性能比较研究 246

数值实验4.2 Newton法收敛域的结构和局部收敛性 246

数值实验4.3一般迭代格式的复杂行为 247

数值实验4.4非线性方程组的数值求解 247

第五章 矩阵特征值问题的数值方法 248

1矩阵特征值问题的有关基础 248

2乘幂法与反乘幂法 254

乘幂法的基本原理 254

乘幂法的计算格式 258

加速收敛技术 261

反乘幂法与Rayleigh商迭代法（RQI） 263

基于乘幂法的降阶收缩方法 265

3常用的线性变换工具 267

正交上三角化变换 267

Householder反射变换 268

实现正交三角分解的Givens旋转变换和Schmidt变换 276

4求解一般矩阵特征值问题的QR方法 280

基本QR迭代格式 280

QR方法的收敛性 282

QR方法的预处理 284

带平移QR迭代方法 289

5对称矩阵特征值问题 293

乘幂法 293

对称QR方法 294

Householder方法 295

Jacobi方法 299

6问题与探索 304

Krylov子空间方法的基本思想 304

Arnoldi过程 305

Lanczos过程 308

本章评述 310

习题五 311

数值实验五 316

数值实验5.1矩阵特征值问题条件数的估计 316

数值实验5.2 QR方法的实施 316

数值实验5.3对称矩阵特征值问题的不同方法的比较 317

第六章 数值逼近问题（Ⅰ）——插值及其数值计算 318

1插值的基本概念 318

2多项式插值 319

Lagrange插值 319

插值多项式的插值余项 321

Newton插值 323

有限差分计算 325

等距节点上的插值公式 330

Hermite插值 332

Newton-Hermite插值公式 333

3分段线性插值 334

4三次样条插值 336

三次样条函数 336

三次样条插值的计算 337

误差界与收敛性 339

5 B-样条函数 339

n次样条函数空间 340

B-样条及其性质 341

6问题与探索 345

Lagrange-Hermite插值公式 345

本章评述 348

习题六 348

数值实验六 352

数值实验6.1观察Lagrange插值的Runge现象 352

数值实验6.2验证三次样条函数插值是否有几何不变性 352

第七章 数值逼近问题（Ⅱ）——函数的最优逼近与拟合 354

1线性赋范空间中的逼近问题 354

函数逼近与函数空间 354

赋范线性空间中的最佳逼近 355

2最佳一致逼近 356

3最小零偏差多项式及其应用 358

Chebyshev多项式 358

代数插值余项的极小化 360

Taylor级数项数的节约 361

4最佳平方逼近 363

线性内积空间 363

线性内积空间的最佳逼近 363

函数的最佳平方逼近 366

正交基 369

5正交多项式 371

Legendre多项式 371

Chebyshev多项式 373

无穷区间上的正交多项式 374

6离散情况的最佳平方逼近 375

7数据拟合的最小二乘法 378

问题的引入 378

一般提法 380

8有理函数插值与逼近 383

9 Padé逼近方法 388

10快速Fourier变换（FFT） 393

三角函数插值和有限Fourier变换 393

快速Fourier变换 395

计算实例与倒地址问题 398

11问题与探索 399

最小二乘法模型中的线性和非线性函数 399

带约束条件的最小二乘法 400

本章评述 404

习题七 404

数值实验七 407

数值实验7.1非线性最小二乘拟合方法的比较 407

数值实验7.2最佳平方逼近多项式的收敛性 407

数值实验7.3 Padé逼近的收敛性 407

数值实验7.4函数平方逼近多项式的均方误差计算 408

第八章 数值积分与数值微分 409

1概述 409

数值积分与数值微分问题 409

数值积分的基本思想 409

2插值型求积法 413

插值型求积公式 413

Newton-Cotes公式 415

插值型求积公式的收敛性和数值稳定性 419

3复化求积法 421

复化梯形公式 421

复化Simpson公式 423

复化Cotes公式 425

4外推积分法与Romberg求积公式 426

外推法的基本思想 426

Euler-Maclaurin求和公式 428

Richardson外推法 431

Romberg求积公式 433

5 Gauss求积法 435

引言 435

Gauss数值求积原理及其性质 437

几种常用的Gauss求积公式 442

6重积分的数值计算 447

矩形区域上的二重梯形公式 447

矩形区域上的二重Simpson公式 449

7数值微分 450

基于插值法的数值微分法 450

样条插值函数数值微分法 452

化微分问题为积分问题的数值微分法 453

8问题与探索 454

积分方程的数值解 454

非标准权函数的Gauss求积公式的构造 456

常微分方程问题及其模型 457

本章评述 459

习题八 460

数值实验八 464

数值实验8.1复化梯形积分法、复化Simpson积分法和Gauss积分法的实验比较 464

数值实验8.2数值积分法用于积分方程求解 465

数值实验8.3数值微分法用于偏微分方程求解 465

数值实验8.4样条插值函数求积法 465

第九章 常微分方程初值问题的数值方法 4

1引言 467

解析解的理论结果 467

数值求解的基本思想 468

2简单的数值方法及其分析 469

Euler法及其几何解释 469

Euler法误差分析 471

其他简单单步法 474

单步法的局部截断误差与阶 476

3 Runge-Kutta方法 478

Taylor级数法 478

RK方法的构造 479

二阶显式RK方法 480

三阶与四阶显式RK方法 482

隐式与半隐式RK方法 484

4单步法的收敛性与稳定性 485

收敛性与相容性 486

整体截断误差估计及其应用 488

绝对稳定性与绝对稳定区域 491

5线性多步法 494

线性多步法的构造——数值积分法 494

线性多步法的构造——待定系数法 496

线性多步法的收敛性和稳定性 498

线性多步法的应用 504

6求解方程组和高阶方程的数值方法 507

一阶方程组 508

化高阶方程为一阶方程组 510

7问题与探索 511

刚性微分方程问题 511

微分方程边值问题的数值方法 512

微分方程的动力迭代法 515

本章评述 517

习题九 517

数值实验九 522

数值实验9.1观察显式Euler法的数值不稳定性 522

数值实验9.2观察当解不光滑时数值方法的收敛性 522

数值实验9.3初步认识刚性微分方程 522

数值实验9.4边值问题的数值方法 522

数值实验9.5简单的捕食模型 523

主要参考文献 524

名词索引 527