第一章 函数的极限与连续 1
第一节 函数 1
一、区间与邻域 1
二、函数的定义 2
三、函数的几何性质 4
四、反函数 6
五、复合函数 7
六、基本初等函数与初等函数 8
习题1-1 9
第二节 数列的极限 9
一、数列的概念 10
二、数列极限的定义 11
三、数列极限的性质 11
四、数列极限存在的准则 12
五、数列的子列 14
习题1-2 15
第三节 函数的极限 15
一、自变量趋向于无穷大时函数的极限 15
二、自变量趋向于有限值时函数的极限 17
三、函数极限的性质 19
四、函数极限存在的准则 19
习题1-3 20
第四节 无穷小量与无穷大量 20
一、无穷小量 20
二、无穷大量 21
习题1-4 22
第五节 极限的运算法则 23
一、极限的四则运算法则 23
二、运用四则运算法则求极限举例 24
三、复合函数极限的运算法则 30
习题1-5 31
第六节 两个重要极限 33
一、lim x→0 sinx/x =1 33
二、lim x→∞ （1＋1/x）x=e 35
习题1-6 39
第七节 无穷小量阶的比较 39
一、无穷小量阶的比较的定义 40
二、无穷小量的等价替代 41
习题1-7 43
第八节 函数的连续性与间断点 43
一、函数的连续性 43
二、函数的间断点 47
习题1-8 49
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 50
一、连续函数的运算 50
二、初等函数的连续性 50
三、闭区间上连续函数的性质 51
习题1-9 53
综合练习题一 53
第二章 导数与微分 56
第一节 导数的概念 56
一、引例 56
二、导数的定义 58
三、导数的几何意义 63
四、函数的可导性与连续性的关系 64
习题2-1 66
第二节 导数的运算法则 67
一、导数的四则运算法则 67
二、反函数的求导法则 69
三、复合函数的求导法则 71
习题2-2 74
第三节 隐函数以及由参数方程所确定的函数的求导法 76
一、隐函数的求导法 76
二、由参数方程所确定的函数的求导法 77
习题2-3 80
第四节 函数的微分 81
一、微分的定义 81
二、可微与可导的关系 82
三、基本初等函数的微分公式 83
四、微分的运算法则 83
五、微分的几何意义 86
六、微分在近似计算中的应用 86
习题2-4 88
第五节 高阶导数与高阶微分 89
一、高阶导数 89
二、高阶微分 94
习题2-5 95
综合练习题二 96
第三章 微分中值定理与导数的应用 99
第一节 微分中值定理 99
一、费马引理 99
二、罗尔中值定理 99
三、拉格朗日中值定理 101
四、柯西中值定理 103
习题3-1 104
第二节 洛必达法则 104
一、洛必达法则 104
二、其他类型的未定式 106
三、需要注意的问题 107
习题3-2 109
第三节 泰勒公式 109
一、带有拉格朗日余项的泰勒公式 110
二、带有佩亚诺余项的泰勒公式 111
习题3-3 113
第四节 函数的单调性与极值 114
一、函数的单调性 114
二、函数的极值 117
三、函数的最大值和最小值 120
习题3-4 123
第五节 曲线的凹凸、拐点与渐近线 124
一、曲线的凹凸与拐点 124
二、曲线的渐近线 129
三、函数图形的描绘 130
习题3-5 132
第六节 导数在经济分析中的应用 133
一、边际分析 133
二、弹性分析 136
习题3-6 140
综合练习题三 140
第四章 积分 144
第一节 定积分的概念与性质 144
一、定积分问题举例 144
二、定积分的定义 146
三、定积分的几何意义 148
四、定积分的性质 149
习题4-1 152
第二节 原函数与微积分基本定理 153
一、原函数 153
二、积分上限的函数及其导数 154
三、牛顿-莱布尼兹公式 158
习题4-2 160
第三节 不定积分的概念 161
一、不定积分的定义 161
二、不定积分与微分的关系 162
三、不定积分的性质 163
四、不定积分的几何意义 164
五、不定积分的直接积分法 164
习题4-3 166
第四节 不定积分的换元积分法 166
一、第一类换元积分法 166
二、第二类换元积分法 174
习题4-4 180
第五节 不定积分的分部积分法及分段函数的不定积分 181
一、不定积分的分部积分法 181
二、分段函数的不定积分 185
习题4-5 186
第六节 有理函数的不定积分 186
一、有理函数的不定积分 187
二、三角函数有理式的积分 193
习题4-6 195
第七节 定积分的换元法和分部积分法 196
一、定积分的换元积分法 196
二、定积分的分部积分法 199
习题4-7 202
第八节 广义积分与Gamma函数 203
一、无穷区间上的广义积分 203
二、无界函数的广义积分 205
三、Γ函数 207
习题4-8 208
综合练习题四 208
第五章 定积分的应用 213
第一节 微元法 213
第二节 定积分的几何应用 214
一、平面图形的面积 214
二、体积 217
三、平面曲线的弧长 220
习题5-2 222
第三节 定积分的物理及经济应用 222
一、变力沿直线所做的功 222
二、定积分的经济应用 224
习题5-3 225
综合练习题五 225
第六章 多元函数微分学 227
第一节 空间解析几何简介 227
一、空间直角坐标系 227
二、空间两点间的距离 228
三、空间曲面 229
四、空间曲线 231
五、常见的曲面 231
六、空间曲线在坐标面上的投影 234
习题6-1 235
第二节 多元函数的极限与连续 236
一、平面点集的基本概念 236
二、多元函数的概念 237
三、多元函数的极限 240
四、多元函数的连续性 241
习题6-2 243
第三节 偏导数 243
一、偏导数的定义 243
二、偏导数的几何意义 246
三、高阶偏导数 247
习题6-3 249
第四节 全微分 249
一、偏增量与全增量 250
二、全微分的定义 250
三、可微的条件 250
四、全微分在近似计算中的应用 253
习题6-4 254
第五节 多元复合函数的求导法则 255
一、多元复合函数的求导法则 255
二、全微分的形式不变性 260
习题6-5 261
第六节 隐函数的求导公式 261
一、一个方程的情形 261
二、方程组的情形 265
习题6-6 266
第七节 多元函数的极值 267
一、多元函数的极值 267
二、多元函数的最大值和最小值 269
三、条件极值与拉格朗日乘数法 270
习题6-7 272
综合练习题六 272
第七章 二重积分 276
第一节 二重积分的概念与性质 276
一、实际背景 276
二、二重积分的定义 277
三、二重积分的性质 278
习题7-1 280
第二节 直角坐标系下二重积分的计算 281
习题7-2 288
第三节 极坐标系下二重积分的计算 289
习题7-3 293
第四节 二重积分的换元法与广义二重积分 293
习题7-4 295
综合练习题七 296
第八章 无穷级数 299
第一节 常数项级数的概念和性质 299
一、常数项级数的概念 299
二、等比级数 301
三、无穷级数的基本性质 301
习题8-1 303
第二节 正项级数及其审敛法 304
一、正项级数收敛的充分必要条件 304
二、比较审敛法 304
三、比值审敛法与根值审敛法 308
习题8-2 310
第三节 任意项级数的审敛法 310
一、交错级数及其审敛法 310
二、绝对收敛与条件收敛 311
习题8-3 313
第四节 幂级数 313
一、函数项级数的概念 313
二、幂级数及其收敛性 314
三、幂级数的运算性质 318
习题8-4 320
第五节 函数展开成幂函数 321
一、泰勒级数 321
二、函数展开成幂级数 322
习题8-5 326
综合练习题八 326
第九章 微分方程 330
第一节 微分方程的基本概念 330
习题9-1 332
第二节 一阶微分方程 333
一、可分离变量的微分方程 333
二、齐次方程 336
三、一阶线性微分方程 338
四、伯努利方程 343
习题9-2 344
第三节 可降阶的高阶微分方程 345
一、y（n）=f（x）型的微分方程 345
二、y″=f（x，y′）型的微分方程 346
三、y″=f（y，y′）型的微分方程 347
习题9-3 349
第四节 二阶常系数线性微分方程 349
一、二阶线性微分方程的解的结构 349
二、二阶常系数齐次线性微分方程 351
三、二阶常系数非齐次线性微分方程 355
习题9-4 360
综合练习题九 361
附录1 初等数学常用公式 364
附录2 参考答案 369
参考文献 396